다변수 연쇄법칙 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.5절 · 45번

OpenStax 3권 · 4.5절 · 45번대학 수준우리말 번역

$u=u(x,y,z)$ 이고 $x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),\text{그리고}\,t=t(r,s)$ 라 하자. 수형도와 연쇄 법칙을 이용하여 $\frac{\partial u}{\partial r}$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $u=u(x,y,z),$ where $x=x(w,t),y=y(w,t),z=z(w,t),w=w(r,s),\text{and}\,t=t(r,s).$ Use a tree diagram and the chain rule to find an expression for $\frac{\partial u}{\partial r}.$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial r} & =\frac{\partial u}{\partial x}\left(\frac{\partial x}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial x}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right)+\frac{\partial u}{\partial y}\left(\frac{\partial y}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial y}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right) \\ & \,+\frac{\partial u}{\partial z}\left(\frac{\partial z}{\partial w}\,\frac{\partial w}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial t}\,\frac{\partial t}{\partial r}\right)\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.5절 · 5번우리말 번역

$f(x,y)=xy,x=r\,\cos \,\theta$ 이고 $y=r\,\sin \,\theta$ 일 때, $\frac{\partial f}{\partial r}$ 를 구하고 그 답을 $r$ 과 $\theta$ 로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{\partial f}{\partial r}=r\,\sin (2\theta )$

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