방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.6절 · 16번

OpenStax 3권 · 4.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 단위벡터 $u=\cos \,\theta i+\sin \,\theta j$ 의 방향으로 주어진 함수의 방향도함수를 구하세요.

$f(x,y)=\frac{y}{x+2y},\theta =-\frac{\pi }{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the directional derivative of the function in the direction of the unit vector $u=\cos \,\theta i+\sin \,\theta j.$

$f(x,y)=\frac{y}{x+2y},\theta =-\frac{\pi }{4}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{-\sqrt{2}(x+y)}{2{(x+2y)}^{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{-\sqrt{2}(x+y)}{2{(x+2y)}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 18번우리말 번역

함수 $w = f(x, y, z)$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수는 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 의 방향으로 2, 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 방향으로 $-\sqrt{2}$ , 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 $-\frac{5}{\sqrt{3}}$ 이다. 함수 $w = f(x, y, z)$ 의 점 $P$ 에서 변화율이 최대가 되는 방향을 구하세요. 이때 최대 변화율은 얼마인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

함수 $f$ 의 $P$ 에서의 그레이디언트를 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 라 하자. 주어진 조건은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \left< 1\,,\,0\,,\,0\right> &= 2 \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1\,,\,1\,,\,0\right> &= -\sqrt{2} \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1\,,\,1\,,\,1\right> &= -\frac{5}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

간단히 하면

$\begin{aligned} a&=2 \\ a+b&=-2 \\ a+b+c&=-5 \end{aligned}$

이 식들로부터 차례로 $a=2$ , $b=-4$ , $c=-3$ 을 얻는다. 함수 $f$ 는 $P$ 에서 $f$ 의 그레이디언트 방향으로 변화율이 최대이다. 그 방향의 단위벡터는

$\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{|\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>|} =\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{\sqrt{29}}$

이다.

최대 변화율은 그레이디언트의 크기이므로 $\sqrt{29}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류