방향도함수와 기울기벡터

문제 전체를 읽어 보면 다음이 필요함을 알 수 있다.

• (a)에서는 $(2t, t^2 - 1, \cos t)\Big|_{t=0} =(0,-1,1)$ 에서의 $PT$ 의 그래디언트
• (b)에서는 $(0,-1,1)$ 에서의 $P$ 와 $T$ 의 그래디언트
• (c)에서는 $(0,-1,1)$ 에서의 $T$ 의 그래디언트와, $(0,-1,1)$ 에서의 $S=z^3+xz+y^2$ 의 그래디언트(그 점에서 곡면의 법선 벡터를 얻기 위해)

따라서 준비 단계로 이 그래디언트들을 모두 계산하자.

$$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) &= \frac{2x}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{4y}{1+z^2}\hat{\boldsymbol{\jmath}} -\frac{(x^2+2y^2)2z}{{(1+z^2)}^2}\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) &= -2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z) &= y\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -2z\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}} \\ { \boldsymbol{\nabla} } S(x,y,z) &= z\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(x+3z^2)\,\hat{\mathbf{k}} & { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) &= \hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

$PT$ 의 그래디언트를 구하기 위해 곱의 미분법을 쓰면

$${ \boldsymbol{\nabla} }(PT)(x,y,z) =T(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(x,y,z) +P(x,y,z)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(x,y,z)$$

이므로

$$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1) &=T(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) +P(0,-1,1)\,{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=(5+0-1) \big(-2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}}\big) + \frac{0+2}{1+1}\big(-\hat{\boldsymbol{\imath}} - 2\hat{\mathbf{k}}\big) \\ &= -\hat{\boldsymbol{\imath}} -8\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -6\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

(a) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2 = 2(PT)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)$ 이고, 시각 $0$ 에서 비행기의 속도 벡터는

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left< 2t, t^2 - 1, \cos t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2, 2t, -\sin t\right>\Big|_{t=0} =\left< 2,0,0\right>$$

이므로

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(PT)^2\Big|_{t=0} &= 2\,P(0,-1,1)\,T(0,-1,1)\ { \boldsymbol{\nabla} }(PT)(0,-1,1)\cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= 2\ \frac{0+2}{1+1}\ (5+0-1)\left< -1,-8,-6\right> \cdot \left< 2,0,0\right> \\ &= -16 \end{aligned}$$

이다.

(b) 방향은 ($P$ 를 일정하게 유지하려면) ${ \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1)$ 에 수직이어야 하고, ($T$ 를 일정하게 유지하려면) ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 에도 수직이어야 한다. 따라서 0이 아닌 상수에

$$\begin{aligned} \pm { \boldsymbol{\nabla} } P(0,-1,1) \times { \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\pm \left< 0 \,,\, -2 \,,\, -1\right> \times \left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> =\pm \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right] \\ &=\pm \left< 4\,,\, 1 \,,\, -2\right> \end{aligned}$$

을 곱한 것이 모두 가능한 방향이다.

(c) 방향이 곡면에 접하면서도, 즉 법선 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ 에 수직이면서도, ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) =\left< -1 \,,\, 0 \,,\, -2\right>$ 에 최대한 가까워야 한다. 이 최적의 방향은 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 에서 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 을 법선 벡터에 정사영한 벡터를 빼면 얻는다.

${ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)$ 을 법선 벡터 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)$ 에 정사영한 벡터는

$$\begin{aligned} \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) &=\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1)\cdot { \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)} {|{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)|^2}{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1) \\ &=\frac{\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right>\cdot \left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>} {|\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right>|^2}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &=\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \end{aligned}$$

이다. 따라서 최적의 방향은

$$\begin{aligned} \mathbf{d}&={ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) - \text{proj}_{{ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)}{ \boldsymbol{\nabla} } T(0,-1,1) \\ &=\left< -1\,,\,0 \,,\,- 2\right> -\frac{-7}{14}\left< 1\,,\, -2 \,,\,3\right> \\ &= \left< -\frac{1}{2}\,,\,-1 \,,\,- \frac{1}{2}\right> \end{aligned}$$

이다. 그러므로 $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ 의 0이 아닌 양의 배수이면 모두 답이다. 검산으로, $-\left< 1\,,\, 2\,,\,1\right>$ 과 ${ \boldsymbol{\nabla} } S(0,-1,1)=\left< 1 \,,\, -2 \,,\, 3\right>$ 의 내적이 0임, 즉 두 벡터가 수직임을 확인할 수 있다.