극값과 안장점

최댓값은 $D$ 의 경계 위에 있거나 $D$ 의 내부에 있어야 한다.

• 경계 중 원호 부분 $r=2$ 에서는 (극좌표에서) $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ 이므로 $f=r^2\cos\theta\sin\theta e^{-r^2/2}=2\sin(2\theta)e^{-2}$ 이다. 이 함수는 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 즉 $x=y=\sqrt{2}$ 에서 최댓값 $2e^{-2}$ 을 갖는다.
• 경계의 평평한 두 부분에서는 $x=0$ 또는 $y=0$ 이므로 $f=0$ 이다.
• 최댓값이 $D$ 의 내부에 있다면 그 점은 $f(x,y)$ 의 임계점이어야 한다.

$$\begin{aligned} f_x(x,y)=e^{-(x^2 + y^2) / 2}\big[y-x^2y\big]\qquad f_y(x,y)=e^{-(x^2 + y^2) / 2}\big[x-xy^2\big] \end{aligned}$$

이므로, $(x,y)$ 가 임계점일 필요충분조건은

$$\begin{aligned} &y(1-x^2)=0\text{ 그리고 }x(1-y^2)=0 \\ &\iff \{y=0\text{ 또는 }x=1\text{ 또는 }x=-1\}\text{ 그리고 } \{x=0\text{ 또는 }y=1\text{ 또는 }y=-1\} \end{aligned}$$

이다. $x,y\ge 0$ 인 임계점은 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 의 두 개이다. 이 중 앞의 것은 $D$ 의 경계 위에 있고 뒤의 것은 $D$ 의 내부에 있다.

다음은 최댓값의 모든 후보를 나타낸 표이다.

$$\begin{array}{|c|c|}\hline (x,y) & g(x,y) \\ \hline (\sqrt{2},\sqrt{2}) & 2e^{-2}\approx0.271 \\ \hline (x,0) & 0 \\ \hline (0,y) & 0 \\ \hline (1,1) & e^{-1}\approx0.368 \\ \hline \end{array}$$

$e>2$ 이므로 $2e^{-2}=e^{-1}\frac{2}{e}<e^{-1}$ 이고, 따라서 가장 큰 값은 $e^{-1}$ 이다.