반복적분과 직사각형 영역의 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번

OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 선택하여 반복적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}\right)dy\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the iterated integrals by choosing the order of integration.

$\int_{0}^{1}\,\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}\right)dy\,dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\frac{\pi }{4}+\ln \left(\frac{5}{4}\right)-\frac{1}{2}\ln \,2+\arctan \,2.$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{\pi }{4}+\ln \left(\frac{5}{4}\right)-\frac{1}{2}\ln \,2+\arctan \,2.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 를 생각하세요. 단, $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. 중점 규칙을 $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ 으로 하여 이중적분 $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 의 값을 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. $m=n=2$ 일 때, 영역 R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 부피가 $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 로 주어지는 입체와 평면 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. $m=n=2$ 일 때, $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

x축, y축, z축으로 이루어진 좌표공간에 z = 0.61 인 평면이 있고, 또 다른 도형이 있다. 이 도형은 대략 (0, 0, 0.92) 에서 최댓값을 가지며, 모든 가장자리를 따라 값이 감소하여 점 (±1, ±1, 0.12) 에 이른다.

이 문제로 이어서 풀기

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류