반복적분과 직사각형 영역의 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번

OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 를 생각하세요. 단, $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. 중점 규칙을 $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ 으로 하여 이중적분 $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 의 값을 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. $m=n=2$ 일 때, 영역 R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 부피가 $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 로 주어지는 입체와 평면 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the function $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}},$ where $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. Use the midpoint rule with $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ to estimate the double integral $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA.$ Round your answers to the nearest hundredths. b. For $m=n=2,$ find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths. c. Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ and the plane $z={f}_{\text{ave}}.$

정답·풀이 보기

a. $m=n=2$ 일 때, $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

x축, y축, z축으로 이루어진 좌표공간에 z = 0.61 인 평면이 있고, 또 다른 도형이 있다. 이 도형은 대략 (0, 0, 0.92) 에서 최댓값을 가지며, 모든 가장자리를 따라 값이 감소하여 점 (±1, ±1, 0.12) 에 이른다.

원본 교재 풀이(영어)

a. For $m=n=2,$ $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

In xyz space, a plane is formed at z = 0.61, and there is another shape with maximum roughly at (0, 0, 0.92), which decreases along all the sides to the points (plus or minus 1, plus or minus 1, 0.12).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.1절 · 35번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 직사각형 영역에서 함수의 평균값을 구하세요.

$f(x,y)=-x+2y,$ $R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{2}.$

이 문제로 이어서 풀기

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류