반복적분과 직사각형 영역의 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번

OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 f는 이중적분으로 주어져 있습니다.

a. 함수 f의 명시적인 식을 구하세요. b. 곡면 $z=f(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요. c. R에서 함수 f의 평균값을 구하세요. d. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $z=f(x,y)$ 와 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\int_{0}^{y}\,\int_{0}^{x}(xs+yt)ds\,dt$ , 단, $(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.

a. Determine the explicit form of the function f. b. Find the volume of the solid under the surface $z=f(x,y)$ and above the region R. c. Find the average value of the function f on R. d. Use a computer algebra system (CAS) to plot $z=f(x,y)$ and $z={f}_{\text{ave}}$ in the same system of coordinates.

[T] $f(x,y)=\int_{0}^{y}\,\int_{0}^{x}(xs+yt)ds\,dt,$ where $(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

정답·풀이 보기

a. $f(x,y)=\frac{1}{2}xy({x}^{2}+{y}^{2})$ b. $V=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1}f(x,y)dx\,dy=\frac{1}{8}$ c. ${f}_{\text{ave}}=\frac{1}{8};$

좌표공간에서 z 좌표가 1/8인 평면이 있고, 원점에서 시작하여 점 (1, 0.25, 0.125)에서 점 (0.25, 1, 0.125)까지 대략 이어지는 선을 따라 그 평면을 뚫고 올라가다가, 점 (1, 1, 1)까지 급격히 증가하는 또 다른 도형이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $f(x,y)=\frac{1}{2}xy({x}^{2}+{y}^{2})$ b. $V=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1}f(x,y)dx\,dy=\frac{1}{8}$ c. ${f}_{\text{ave}}=\frac{1}{8};$

In xyz space, a plane is formed at z = 1/8, and there is another shape that starts at the origin, increases through the plane in a line roughly running from (1, 0.25, 0.125) to (0.25, 1, 0.125), and then rapidly increases to (1, 1, 1).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서 적분 순서를 선택하여 반복적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{1}\,\int_{1}^{2}\left(\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}\right)dy\,dx$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$-\frac{\pi }{4}+\ln \left(\frac{5}{4}\right)-\frac{1}{2}\ln \,2+\arctan \,2.$

이 문제로 이어서 풀기

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류