일반 영역의 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.2절 · 28번

OpenStax 3권 · 5.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

$D$ 를 $y=1,$ $y=x,$ $y=\ln \,x$ , 그리고 $x$ 축으로 둘러싸인 영역이라 하자.

a. $D$ 를 두 개의 제1종 영역(x에 대한 단순 영역)으로 나누어 $\iint_{D}y\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{x}y\,dy\,dx+\int_{1}^{e}\,\int_{\ln \,x}^{1}y\,dy\,dx$ 임을 보이세요. b. 적분 $\iint_{D}y\,dA$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $D$ be the region bounded by $y=1,$ $y=x,$ $y=\ln \,x,$ and the $x$ -axis.

a. Show that $\iint_{D}y\,dA=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{x}y\,dy\,dx+\int_{1}^{e}\,\int_{\ln \,x}^{1}y\,dy\,dx$ by dividing $D$ into two regions of Type I. b. Evaluate the integral $\iint_{D}y\,dA.$

정답·풀이 보기

a. 답은 다양할 수 있다; b. $\frac{2}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers may vary; b. $\frac{2}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.2절 · 60번우리말 번역

확률밀도함수가 각각 ${p}_{1}(x)$ , ${p}_{2}(y)$ 인 두 확률변수 $X\,\text{그리고}\,Y$ 를 생각하자. 두 확률변수 $X\,\text{그리고}\,Y$ 의 결합밀도함수가 $p(x,y)={p}_{1}(x){p}_{2}(y)$ 로 주어지면 $X$ 와 $Y$ 는 서로 독립이라고 한다. 어떤 드라이브스루 식당에서 고객은 평균적으로 주문하는 데 $3$ 분을 쓰고, 이어서 계산하고 음식을 받는 데 $5$ 분을 더 쓴다. 주문하는 일과 계산하고 음식을 받는 일은 서로 독립인 사건 $X$ 와 $Y$ 라고 가정하자. 대기 시간을 각각 지수 확률밀도함수

$\begin{array}{ccccccc}{p}_{1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{e}^{-x/3} & x\ge 0, \\ 0 & \text{그 외에,}\end{array}\right. & & & \text{그리고} & & & {p}_{2}(y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5}{e}^{-y/5} & y\ge 0, \\ 0 & \text{그 외에,}\end{array}\right.\end{array}$

로 나타내면, 고객이 드라이브스루 줄에서 6분 미만으로 보낼 확률은 $P[X+Y\le 6]=\iint_{D}p(x,y)dx\,dy$ 로 주어진다. 여기서 $D=\{(x,y)\}|x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 6\}$ 이다. $P[X+Y\le 6]$ 을 구하고 그 결과를 해석하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$P[X+Y\le 6]=1+\frac{3}{2{e}^{2}}-\frac{5}{{e}^{6/5}}\approx 0.45$ 이다. 고객이 드라이브스루 줄에서 6분 미만을 보낼 확률이 $45\%$ 라는 뜻이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 일반 영역의 이중적분증명·논술자동 분류