극좌표 이중적분

(a) 적분 정의역에서

• $y$ 는 $0$ 부터 $\sqrt{2}$ 까지 변하고,
• 그 범위의 각 $y$ 에 대해 $x$ 는 $y$ 부터 $\sqrt{4-y^2}$ 까지 변한다. $x=\sqrt{4-y^2}$ 을 더 익숙한 꼴인 $x^2+y^2=4$, $x\ge 0$ 으로 고쳐 쓸 수 있다.

아래 왼쪽 그림은 적분 정의역의 개형이다. 또한 주어진 반복적분을 세우는 데 사용한 일반적인 가로 방향 띠도 보여 준다.

(b) 적분 순서를 바꾸기 위해 가로 방향 띠 대신 세로 방향 띠를 사용한다. 위 오른쪽 그림에서 알 수 있듯이, 적분 정의역에서

• $x$ 는 $0$ 부터 $2$ 까지 변하고,
• $0\le x\le\sqrt{2}$ 인 범위의 각 $x$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 부터 $x$ 까지 변한다.
• $\sqrt{2}\le x\le 2$ 인 범위의 각 $x$ 에 대해 $y$ 는 $0$ 부터 $\sqrt{4-x^2}$ 까지 변한다.

따라서 적분은 다음과 같다.

$$J = \int_0^{\sqrt{2}}\int_0^x \frac{y}{x} e^{x^2+y^2}\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x + \int_{\sqrt{2}}^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}} \frac{y}{x} e^{x^2+y^2}\ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$$

(c) 극좌표에서 직선 $y=x$ 는 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이고, 원 $x^2+y^2=4$ 는 $r=2$ 이며, $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} J&=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^2\mathrm{d}r\ r \overbrace{\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}}^{\frac{y}{x}}e^{r^2} \\ &=\int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \left[\frac{1}{2} e^{r^2}\right]_0^2 \\ &=-\frac{1}{2}\left[e^4-1\right] \int_1^{1/\sqrt{2}}\mathrm{d}u\ \frac{1}{u} \qquad\text{여기서 }u=\cos\theta,\ \mathrm{d}u=-\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \\ &=-\frac{1}{2}\left[e^4-1\right]\ \Big[\ln|u|\Big]_1^{1/\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{4}\left[e^4-1\right]\ln 2 \end{aligned}$$