극좌표 이중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.3절 · 24번

OpenStax 3권 · 5.3절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적분이 극좌표로 변환되어 있습니다. 등식이 참임을 확인하고, 직교좌표와 극좌표 중 적분을 계산하기에 가장 쉬운 방법을 선택하여 적분의 값을 구하세요.

$\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{x}\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{2\,\sec \,\theta }^{3\sec \,\theta }r\,\cos \,\theta \,dr\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, the integrals have been converted to polar coordinates. Verify that the identities are true and choose the easiest way to evaluate the integrals, in rectangular or polar coordinates.

$\int_{2}^{3}\,\int_{0}^{x}\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{2\,\sec \,\theta }^{3\sec \,\theta }r\,\cos \,\theta \,dr\,d\theta$

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$\frac{5}{2}\ln \left(1+\sqrt{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{5}{2}\ln \left(1+\sqrt{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.3절 · 46번우리말 번역

포물면 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 아래쪽에, 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=x$ 안쪽에, 그리고 평면 $z=0$ 위쪽에 놓인 입체의 부피를 구하세요.

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$\frac{3\pi }{32}$

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