극좌표 이중적분

(a) 부등식 $x^2 + y^2 \le 2x$ 는 $(x-1)^2 + y^2 \le 1$ 과 같고, $(x,y)$ 가 $(1,0)$ 을 중심으로 하는 반지름 $1$ 인 원판의 내부에 있음을 뜻한다. 그림은 다음과 같다.

극좌표에서 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 이므로 직선 $y=x$ 는 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이고 원 $x^2+y^2=2x$ 는

$$r^2=2r\cos\theta \qquad\text{또는}\qquad r=2\cos\theta$$

이다. 따라서

$$D = \big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)\ \big|\ -{\pi}/{2}\le\theta\le{\pi}/{4},\ 0\le r\le 2\cos\theta\ \big\}$$

이다.

(b) 극좌표가 $r$, $\theta$ 인 $D$ 의 점 위쪽에서 입체의 높이는 $z=r$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} \text{부피} &= \iint _D r\ \mathrm{d}A=\iint _D r^2\ \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta =\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_0^{2\cos\theta} \mathrm{d}r\ r^2 \\ &= \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \cos^3\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta\big[1-\sin^2\theta\big] \\ &=\frac{8}{3} \left[\sin\theta -\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_{-\pi/2}^{\pi/4}\\ &=\frac{8}{3}\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{6\sqrt{2}}\right) -\left(-1 + \frac{1}{3}\right) \right] \\ &=\frac{40}{18\sqrt{2}} +\frac{16}{9} \end{aligned}$$