원기둥·구면좌표 삼중적분

두 곡면은 모두 $z$축을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. 다음은 $E$ 의 $y=0$ 단면의 개략도이다.

곡면 $z = x^2 + y^2$ 과 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ 은 $z=x^2+y^2$ 이고

$$z+z^2=6 \iff z^2+z-6=0 \iff(z+3)(z-2)=0$$

일 때 만난다. $z=x^2+y^2\ge 0$ 이므로 두 곡면은 원 $z=2$, $x^2+y^2=2$ 에서 만난다. 따라서

$$E = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 2,\ x^2+y^2\le z\le \sqrt{6-x^2-y^2}\ \big\}$$

적분을 하기 위해 원기둥좌표를 사용하자. 원기둥좌표에서

• $E = \big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ r\le \sqrt{2},\ 0\le\theta\le 2\pi,\ r^2\le z\le \sqrt{6-r^2}\ \big\}$ 이고,
• $\mathrm{d}V$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$ 이므로

$$\begin{aligned} \iiint _E (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{r^2}^{\sqrt{6-r^2}} \mathrm{d}z\ r\ r^2 \\ &=2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \ r^3\big(\sqrt{6-r^2}-r^2\big) =2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r\,r\ r^2\sqrt{6-r^2} - 2\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}r \ r^5\\ &=2\pi\int_6^4\frac{\mathrm{d}u}{-2} \ (6-u)\sqrt{u} -2\pi\frac{2^3}{6} \qquad\text{여기서 } u = 6-r^2,\ \mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r \\ &=-\pi\left[6\frac{u^{3/2}}{3/2}-\frac{u^{5/2}}{5/2}\right]_6^4-\frac{8\pi}{3}\\ &=-\pi\left[4\big(8-6\sqrt{6}\big)-\frac{2}{5}\big(32-36\sqrt{6}\big)\right] -\frac{8\pi}{3}\\ &=\pi\left[\frac{64}{5}-32-\frac{8}{3} +\left(24-\frac{72}{5}\right)\sqrt{6}\right] \\ &=\pi\left[\frac{48}{5}\sqrt{6}-\frac{328}{15}\right] \approx 1.65\pi \end{aligned}$$