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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 함수 gg 와 영역 EE 는 직교좌표로 주어져 있다.

a. 영역 EE 와 함수 gg 를 원기둥좌표로 나타내세요. f(r,θ,z)f(r,\theta ,z) 를 원기둥좌표에서 대응하는 함수라 하자. b. 적분 ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV 를 원기둥좌표로 바꾸고 값을 구하세요.

g(x,y,z)=x,g(x,y,z)=x, E={(x,y,z)∣1≤y2+z2≤9,0≤x≤9−y2−z2}E=\{(x,y,z)|1\le {y}^{2}+{z}^{2}\le 9,0\le x\le 9-{y}^{2}-{z}^{2}\}

영어 원문 보기

In the following exercises, the function gg and region EE are given in rectangular coordinates.

a. Express the region EE and the function gg in cylindrical coordinates. Let f(r,θ,z)f(r,\theta ,z) be the corresponding function in cylindrical coordinates. b. Convert the integral ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV to cylindrical coordinates and evaluate it.

g(x,y,z)=x,g(x,y,z)=x, E={(x,y,z)∣1≤y2+z2≤9,0≤x≤9−y2−z2}E=\{(x,y,z)|1\le {y}^{2}+{z}^{2}\le 9,0\le x\le 9-{y}^{2}-{z}^{2}\}

정답·풀이 보기

a. y=r cos⁡ θ,z=r sin⁡ θ,x=z,y=r\,\cos \,\theta ,z=r\,\sin \,\theta ,x=z, E={(r,θ,z)∣1≤r≤3,0≤θ≤2π,0≤z≤9−r2},f(r,θ,z)=z;E=\{(r,\theta ,z)|1\le r\le 3,0\le \theta \le 2\pi ,0\le z\le 9-{r}^{2}\},f(r,\theta ,z)=z; b. ∫13 ∫02π ∫09−r2zr dz dθ dr=256π3\int_{1}^{3}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{0}^{9-{r}^{2}}zr\,dz\,d\theta \,dr=\frac{256\pi }{3}

원본 교재 풀이(영어)

a. y=r cos⁡ θ,z=r sin⁡ θ,x=z,y=r\,\cos \,\theta ,z=r\,\sin \,\theta ,x=z, E={(r,θ,z)∣1≤r≤3,0≤θ≤2π,0≤z≤9−r2},f(r,θ,z)=z;E=\{(r,\theta ,z)|1\le r\le 3,0\le \theta \le 2\pi ,0\le z\le 9-{r}^{2}\},f(r,\theta ,z)=z; b. ∫13 ∫02π ∫09−r2zr dz dθ dr=256π3\int_{1}^{3}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{0}^{9-{r}^{2}}zr\,dz\,d\theta \,dr=\frac{256\pi }{3}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 53번우리말 번역

안테나에서 방출되는 전력은 단위 부피당 전력 밀도가 구면좌표로

p(ρ,θ,φ)=P0ρ2cos⁡2θ sin⁡4φp(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{{P}_{0}}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi

로 주어진다. 여기서 P0{P}_{0} 은 단위가 와트인 상수이다. 반지름이 rr 미터인 구 BB 안의 총 전력은 P=∭Bp(ρ,θ,φ)dVP=\iiint_{B}p(\rho ,\theta ,\varphi )dV 로 정의된다. 반지름이 20미터인 구 안의 총 전력 PP 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

P=64P0π3P=\frac{64{P}_{0}\pi }{3} 와트

이 문제로 이어서 풀기
# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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