원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.5절 · 53번

OpenStax 3권 · 5.5절 · 53번대학 수준우리말 번역

안테나에서 방출되는 전력은 단위 부피당 전력 밀도가 구면좌표로

$p(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{{P}_{0}}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi$

로 주어진다. 여기서 ${P}_{0}$ 은 단위가 와트인 상수이다. 반지름이 $r$ 미터인 구 $B$ 안의 총 전력은 $P=\iiint_{B}p(\rho ,\theta ,\varphi )dV$ 로 정의된다. 반지름이 20미터인 구 안의 총 전력 $P$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The power emitted by an antenna has a power density per unit volume given in spherical coordinates by

$p(\rho ,\theta ,\varphi )=\frac{{P}_{0}}{{\rho }^{2}}{\cos }^{2}\theta \,{\sin }^{4}\varphi ,$ where ${P}_{0}$ is a constant with units in watts. The total power within a sphere $B$ of radius $r$ meters is defined as $P=\iiint_{B}p(\rho ,\theta ,\varphi )dV.$ Find the total power $P$ within a sphere of radius 20 meters.

정답·풀이 보기

$P=\frac{64{P}_{0}\pi }{3}$ 와트

원본 교재 풀이(영어)

$P=\frac{64{P}_{0}\pi }{3}$ watts

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 51번우리말 번역

구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ 의 안쪽이면서 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 의 바깥쪽에 있는 입체의 부피를 원기둥좌표계와 구면좌표계에서의 삼중적분으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{r}^{2}}}^{\sqrt{16-{r}^{2}}}r\,dz\,dr\,d\theta ;$ $\int_{\pi /6}^{5\pi /6}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2\,\csc \,\varphi }^{4}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분활용자동 분류