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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 함수 gg 와 영역 EE 는 직교좌표로 주어져 있다.

a. 영역 EE 와 함수 gg 를 구면좌표로 나타내세요. f(ρ,θ,φ)f(\rho , \theta , \varphi ) 를 구면좌표에서 이에 대응하는 함수라 하세요. b. 적분 ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV 를 구면좌표로 변환하고 값을 구하세요.

g(x,y,z)=z;g(x,y,z)=z; E={(x,y,z)∣x2+y2+z2−2z≤0,x2+y2≤z}E=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2z\le 0,\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\le z\}

영어 원문 보기

In the following exercises, the function gg and region EE are given in rectangular coordinates.

a. Express the region EE and the function gg in spherical coordinates. Let f(ρ,θ,φ)f(\rho , \theta , \varphi ) be the corresponding function in spherical coordinates b. Convert the integral ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV to spherical coordinates and evaluate it.

g(x,y,z)=z;g(x,y,z)=z; E={(x,y,z)∣x2+y2+z2−2z≤0,x2+y2≤z}E=\{(x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-2z\le 0,\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\le z\}

정답·풀이 보기

a. f(ρ,θ,φ)=ρ cos⁡ φ;f(\rho ,\theta ,\varphi )=\rho \,\cos \,\varphi ; E={(ρ,θ,φ)∣0≤ρ≤2 cos⁡ φ,0≤θ≤2π,0≤φ≤π4};E=\{(\rho ,\theta ,\varphi )|0\le \rho \le 2\,\cos \,\varphi ,0\le \theta \le 2\pi ,0\le \varphi \le \frac{\pi }{4}\}; b. ∫02π ∫0π/4 ∫02 cos⁡ φρ3sin⁡ φcos⁡ φ dρ dφ dθ=7π6\int_{0}^{2\pi }\,\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{2\,\cos \,\varphi }{\rho }^{3}\sin \,\varphi \cos \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta =\frac{7\pi }{6}

원본 교재 풀이(영어)

a. f(ρ,θ,φ)=ρ cos⁡ φ;f(\rho ,\theta ,\varphi )=\rho \,\cos \,\varphi ; E={(ρ,θ,φ)∣0≤ρ≤2 cos⁡ φ,0≤θ≤2π,0≤φ≤π4};E=\{(\rho ,\theta ,\varphi )|0\le \rho \le 2\,\cos \,\varphi ,0\le \theta \le 2\pi ,0\le \varphi \le \frac{\pi }{4}\}; b. ∫02π ∫0π/4 ∫02 cos⁡ φρ3sin⁡ φcos⁡ φ dρ dφ dθ=7π6\int_{0}^{2\pi }\,\int_{0}^{\pi /4}\,\int_{0}^{2\,\cos \,\varphi }{\rho }^{3}\sin \,\varphi \cos \,\varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta =\frac{7\pi }{6}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 9번우리말 번역

EE 는 직원기둥 r=4 sin⁡ θr=4\,\sin \,\theta 의 내부, rθr\theta-평면 위쪽, 구 r2+z2=16{r}^{2}+{z}^{2}=16 의 내부에 있는 영역이다.

다 풀었으면 정답 확인

a. E={(r,θ,z)∣0≤θ≤π,0≤r≤4 sin⁡ θ,0≤z≤16−r2};E=\{(r,\theta ,z)|0\le \theta \le \pi ,0\le r\le 4\,\sin \,\theta ,0\le z\le \sqrt{16-{r}^{2}}\}; b. ∫0π ∫04 sin⁡ θ ∫016−r2f(r,θ,z)r dz dr dθ\int_{0}^{\pi }\,\int_{0}^{4\,\sin \,\theta }\,\int_{0}^{\sqrt{16-{r}^{2}}}f(r,\theta ,z)r\,dz\,dr\,d\theta

이 문제로 이어서 풀기
# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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