원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.5절 · 55번

OpenStax 3권 · 5.5절 · 55번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하고 반지름이 r 센티미터인 구 $B$ 안에 들어 있는 전하 구름의 전하 밀도가 $q(x,y,z)=k\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}\frac{\mu \,\text{C}}{{\text{cm}}^{3}}$ 으로 주어진다. 여기서 $k>0$ 이다. $B$ 안에 들어 있는 총 전하량은 $Q=\iiint_{B}q(x,y,z)dV$ 로 주어진다. 총 전하량 $Q$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A charge cloud contained in a sphere $B$ of radius r centimeters centered at the origin has its charge density given by $q(x,y,z)=k\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}\frac{\mu \,\text{C}}{{\text{cm}}^{3}},$ where $k>0.$ The total charge contained in $B$ is given by $Q=\iiint_{B}q(x,y,z)dV.$ Find the total charge $Q.$

정답·풀이 보기

$Q=k{r}^{4}\pi \mu C$

원본 교재 풀이(영어)

$Q=k{r}^{4}\pi \mu C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서 함수 $g$ 와 영역 $E$ 는 직교좌표로 주어져 있다.

a. 영역 $E$ 와 함수 $g$ 를 원기둥좌표로 나타내세요. $f(r,\theta ,z)$ 를 원기둥좌표에서 대응하는 함수라 하자. b. 적분 $\iiint_{E}g(x,y,z)dV$ 를 원기둥좌표로 바꾸고 값을 구하세요.

$g(x,y,z)=x,$ $E=\{(x,y,z)|1\le {y}^{2}+{z}^{2}\le 9,0\le x\le 9-{y}^{2}-{z}^{2}\}$

다 풀었으면 정답 확인

a. $y=r\,\cos \,\theta ,z=r\,\sin \,\theta ,x=z,$ $E=\{(r,\theta ,z)|1\le r\le 3,0\le \theta \le 2\pi ,0\le z\le 9-{r}^{2}\},f(r,\theta ,z)=z;$ b. $\int_{1}^{3}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{0}^{9-{r}^{2}}zr\,dz\,d\theta \,dr=\frac{256\pi }{3}$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류