다중적분의 응용(질량·질량중심)

(a) $(-a,0)$ 에서 $(0,c)$ 까지의 삼각형의 변은 그 두 점을 지나는 직선이다. $x=-a$ 일 때 $y=0$ 이므로, 이 직선의 방정식은 어떤 상수 $K$ 에 대해 $y=K(x+a)$ 꼴이어야 한다. $x=0$ 일 때 $y=c$ 이므로 상수 $K=\frac{c}{a}$ 이다. 따라서 방정식은 $y=\frac{c}{a}(x+a)$ 이고, 이는 방정식 $cx-ay=-ac$ 와 같다. 마찬가지로 $(b,0)$ 에서 $(0,c)$ 까지의 삼각형의 변의 방정식은 $y=\frac{c}{b}(b-x)$ 이다. 삼각형의 넓이는 $A=\frac{1}{2}(a+b)c$ 이다. 질량중심 $(\bar x,\bar y)$ 는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \bar x=\frac{1}{A}\iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\qquad \bar y=\frac{1}{A}\iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$

이 적분들을 계산하기 위해 그림과 같이 삼각형을 세로 띠로 나눈다.

$$\begin{aligned} \bar x&=\frac{1}{A}\iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\int_0^{c+{c\over a}x}\mathrm{d}y\ x +\int_0^b \mathrm{d}x\int_0^{c-{c\over b}x}\mathrm{d}y\ x\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\ x\left(c+\frac{c}{a}x\right) +\int_0^b \mathrm{d}x\ x\left(c-\frac{c}{b}x\right)\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\left(\left[\frac{1}{2} cx^2+\frac{c}{3a}x^3\right]_{-a}^0 +\left[\frac{1}{2} cx^2-\frac{c}{3b}x^3\right]_0^b\right) \\ &=2\frac{\frac{1}{2} c(b^2-a^2)+\frac{c}{3}(a^2-b^2)}{(a+b)c} =\frac{1}{3}(b-a)\\ \bar y&=\frac{1}{A}\iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\int_0^{c+{c\over a}x}\mathrm{d}y\ y +\int_0^b \mathrm{d}x\int_0^{c-{c\over b}x}\mathrm{d}y\ y\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\ \frac{1}{2}\left(c+\frac{c}{a}x\right)^2 +\int_0^b \mathrm{d}x\ \frac{1}{2}\left(c-\frac{c}{b}x\right)^2\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\left(\frac{a}{6c}\left[c+\frac{c}{a}x\right]^3\bigg|_{-a}^0 -\frac{b}{6c}\left(c-\frac{c}{b}x\right)^3\bigg|_0^b\, \right) \\ &=2\frac{\frac{ac^2}{6}+\frac{bc^2}{6}}{(a+b)c} =\frac{c}{3} \end{aligned}$$

(b) $(-a,0)$ 의 대변의 중점은 $\frac{1}{2}\big[(b,0)+(0,c)\big]=\frac{1}{2}(b,c)$ 이다. $(-a,0)$ 에서 $\frac{1}{2}(b,c)$ 로 향하는 벡터는 $\frac{1}{2}\left< b,c\right>-\left<-a,0\right> =\left< a+\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right>$ 이다. 따라서 이 두 점을 잇는 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$$\mathbf{r}(t)=\left< -a,0\right>+t\left< a+\frac{1}{2} b\,,\,\frac{1}{2} c\right>$$

다음이 성립하므로 점 $(\bar x,\bar y)$ 는 이 직선 위에 있다.

$$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a)\,,\,\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$$

마찬가지로 $(b,0)$ 의 대변의 중점은 $\frac{1}{2}(-a,c)$ 이다. 이 두 점을 잇는 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$$\mathbf{r}(t)=\left< b,0\right> +t\left<-b-\frac{1}{2} a\,,\,\frac{1}{2} c\right>$$

다음이 성립하므로 점 $(\bar x,\bar y)$ 는 이 직선 위에도 있다.

$$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a),\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$$

$(\bar x,\bar y)$ 가 세 번째 중선 위에 있는지 확인할 필요는 사실 없지만, 어쨌든 확인해 보자. $(0,c)$ 의 대변의 중점은 $\frac{1}{2}(b-a,0)$ 이다. 이 두 점을 잇는 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$$\mathbf{r}(t)=\left< 0,c\right>+t\left<\frac{b}{2}-\frac{a}{2},-c\right>$$

다음이 성립하므로 점 $(\bar x,\bar y)$ 는 이 중선 위에도 있다.

$$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a),\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$$