변수변환과 야코비안 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.7절 · 26번

OpenStax 3권 · 5.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 변환의 야코비안 $J$ 를 구하세요.

$x=u{e}^{v},y={e}^{-v}$

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In the following exercises, find the Jacobian $J$ of the transformation.

$x=u{e}^{v},y={e}^{-v}$

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원본 교재 풀이(영어)

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한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 $S$ 의 꼭짓점들이 함수 $T$ 에 의해 옮겨지는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x=\frac{u}{2},y=\frac{v}{3}$

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a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=\frac{u}{2}$ 이고 $y=h(u,v)=\frac{v}{3}$ . 함수 $g$ 와 $h$ 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 ${g}_{u}(u,v)=\frac{1}{2},$ ${g}_{v}(u,v)=0,{h}_{u}(u,v)=0\,\text{그리고}\,{h}_{v}(u,v)=\frac{1}{3}$ 은 $S$ 에서 연속이다; b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=\left(\frac{1}{2},0\right),T(0,1)=\left(0,\frac{1}{3}\right)$ , 그리고 $T(1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right);$ c. $R$ 은 $xy\text{-평면}$ 에서 꼭짓점이 $(0,0),\left(\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right),\text{그리고}\,\left(0,\frac{1}{3}\right)$ 인 직사각형이다; 다음 그림과 같다.

한 꼭짓점이 원점에 있고, 가로 길이가 0.5, 세로 높이가 0.34인 직사각형.

이 문제로 이어서 풀기

# 변수변환과 야코비안계산자동 분류