변수변환과 야코비안 연습문제 — OpenStax 3권 · 5.7절 · 4번

OpenStax 3권 · 5.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 보이세요. b. 함수 $T$ 에 의한 단위 정사각형 $S$ 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x=2u-v,y=u+2v$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x=2u-v,y=u+2v$

정답·풀이 보기

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u-v$ , 그리고 $y=h(u,v)=u+2v$ . 함수 $g$ 와 $h$ 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 ${g}_{u}(u,v)=2,$ ${g}_{v}(u,v)=-1,$ ${h}_{u}(u,v)=1$ , 그리고 ${h}_{v}(u,v)=2$ 는 $S$ 에서 연속이다; b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(2,1),$ $T(0,1)=(-1,2)$ , 그리고 $T(1,1)=(1,3);$ c. $R$ 은 $xy\text{-평면}$ 에서 꼭짓점이 $(0,0),(2,1),(1,3),\text{그리고}\,(-1,2)$ 인 정사각형이다; 다음 그림을 보라.

한 변의 길이가 5의 제곱근인 정사각형으로, 한 꼭짓점은 원점에 있고 다른 한 꼭짓점은 (2, 1)에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u-v,$ and $y=h(u,v)=u+2v.$ The functions $g$ and $h$ are continuous and differentiable, and the partial derivatives ${g}_{u}(u,v)=2,$ ${g}_{v}(u,v)=-1,$ ${h}_{u}(u,v)=1,$ and ${h}_{v}(u,v)=2$ are continuous on $S;$ b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(2,1),$ $T(0,1)=(-1,2),$ and $T(1,1)=(1,3);$ c. $R$ is the sqaure of vertices $(0,0),(2,1),(1,3),\text{and}\,(-1,2)$ in the $xy\text{-plane;}$ see the following figure.

A square of side length square root of 5 with one corner at the origin and another at (2, 1).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.7절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서, 단위 정사각형으로 유계인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 $S$ 의 각 꼭짓점이 함수 $T$ 에 의해 대응되는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x={u}^{3},y={v}^{3}$

다 풀었으면 정답 확인

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)={u}^{3}$ 이고 $y=h(u,v)={v}^{3}$ 이다. 함수 $g$ 와 $h$ 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 ${g}_{u}(u,v)=3{u}^{2},$ ${g}_{v}(u,v)=0,$ ${h}_{u}(u,v)=0,$ ${h}_{v}(u,v)=3{v}^{2}$ 은 $S$ 에서 연속이다. b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(1,0),$ $T(0,1)=(0,1),$ $T(1,1)=(1,1)$ 이다. c. $R$ 은 $xy$ -평면에서의 단위 정사각형이다. 다음 그림을 보라.

가로축(x축)과 세로축(y축)이 모두 0에서 1까지인 직교좌표 그래프로, 데이터나 함수가 전혀 나타나 있지 않은 빈 그래프 영역이 그려져 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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