벡터장과 흐름선 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.1절 · 31번

OpenStax 3권 · 6.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\text{F}$ 의 흐름선(또는 유선)은 $d\text{r}/dt=\text{F}(\text{r}(t))$ 를 만족하는 곡선 $\text{r}(t)$ 이다. $\text{F}$ 가 움직이는 입자의 속도장을 나타내면, 흐름선은 그 입자가 지나가는 경로이다. 따라서 흐름선은 벡터장에 접한다. 다음 문제에서 주어진 곡선 $\text{c}(t)$ 가 주어진 속도 벡터장 $\text{F}(x,y,z)$ 의 흐름선임을 보이세요.

$\text{c}(t)=<\sin \,t,\cos \,t,{e}^{t}>;\text{F}(x,y,z)=\langle y,-x,z\rangle$

영어 원문 보기

A flow line (or streamline) of a vector field $\text{F}$ is a curve $\text{r}(t)$ such that $d\text{r}/dt=\text{F}(\text{r}(t)).$ If $\text{F}$ represents the velocity field of a moving particle, then the flow lines are paths taken by the particle. Therefore, flow lines are tangent to the vector field. For the following exercises, show that the given curve $\text{c}(t)$ is a flow line of the given velocity vector field $\text{F}(x,y,z).$

$\text{c}(t)=<\sin \,t,\cos \,t,{e}^{t}>;\text{F}(x,y,z)=\langle y,-x,z\rangle$

정답·풀이 보기

$\text{c}'(t)=(\cos \,t,-\sin \,t,{e}^{-t})=\text{F}(\text{c}(t))$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{c}'(t)=(\cos \,t,-\sin \,t,{e}^{-t})=\text{F}(\text{c}(t))$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.1절 · 33번우리말 번역

다음 연습문제에서 $\text{F}=x\text{i}+y\text{j},$ $\text{G}=-y\text{i}+x\text{j},$ $\text{H}=x\text{i}-y\text{j}$ 라 하자. F, G, H 를 각각의 그래프와 짝지으세요.

2차원 벡터장을 시각적으로 나타낸 그림이다. 화살표는 원점에서 멀어질수록 더 크며, 특히 y축의 왼쪽과 오른쪽에서 그렇다. 화살표는 y축의 왼쪽에서는 왼쪽을, y축의 오른쪽에서는 오른쪽을 각각 향한다. x축 위쪽에서는 아래를 향하고 x축 아래쪽에서는 위를 향한다. x축에 가까울수록 화살표는 더 납작하고, y축에 가까울수록 더 수직에 가깝다.

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