선적분

(a) 참이다. $\mathbf{F}$ 를 주어진 벡터장이라 하자. $\mathbb{R}^3$ 전체에서 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 이라고 가정하였다. 따라서 어떤 퍼텐셜 함수 $\phi$ 에 대해 $\mathbf{F}=\nabla\phi$ 이다. 또한 $0=\nabla\cdot\mathbf{F} =\nabla\cdot\nabla\phi =\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi$ 라고 가정하였다. 이것이 “$\phi$ 는 조화함수이다”의 정의이다.

(b) 거짓이다. $\mathbf{F}$ 를 주어진 벡터장이라 하자. 어떤 퍼텐셜 함수 $\phi$ 에 대해 $\mathbf{F}=\nabla\phi$ 라고 가정하였다. $S$ 가 매끄러운 임의의 닫힌 곡면이고 $S$ 가 입체 $V$ 의 경계이면, 발산 정리에 의해 $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 바깥쪽 플럭스는 다음과 같다.

$$\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\iiint _V \nabla\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V \nabla\cdot\nabla \phi\ \mathrm{d}V =\iiint _V \big(\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\tfrac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi\ \mathrm{d}V$$

예를 들어 $\phi=x^2$ 이면 $\big(\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}\big)\phi=2$ 이고, $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 플럭스는 $V$ 의 부피의 2배이므로 0이 아니다.