선적분

다음은 $C$ 의 개략적인 그림이다.

다음에 주목한다.

• $(1, 0, 0)$ 에서 $(0,0,1)$ 까지의 선분 위에서 $y=0$ 이므로 적분은 그 선분 위에서 $\int zx \,\mathrm{d}z$ 로 간단해진다.
• $(0,0,1)$ 에서 $(0, 1, 0)$ 까지의 선분 위에서 $x=0$ 이므로 적분은 그 선분 위에서 $\int yz \,\mathrm{d}y$ 로 간단해진다.
• $(0, 1, 0)$ 에서 $(1, 0, 0)$ 까지의 선분 위에서 $z=0$ 이므로 적분은 그 선분 위에서 $\int xy \,\mathrm{d}x$ 로 간단해진다.

따라서 적분을 직접 계산할 수 있어 보인다. 위의 그림과 같이 삼각형의 변을 $C_1$, $C_2$, $C_3$ 이라 하자.

• $C_1$ 을 $\mathbf{r}(t) = (1,0,0) + t[(0,0,1)-(1,0,0)] = (1-t\,,\,0\,,\,t)$, $0\le t\le 1$ 로 매개화한다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int_{C_1} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &= \int_{C_1} zx \,\mathrm{d}z =\int_0^1 \overbrace{(1-t)}^{x} \overbrace{(t)}^{z} \overbrace{(1)}^{z'(t)}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (t-t^2)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$$

• $C_2$ 를 $\mathbf{r}(t) = (0,0,1) + t[(0,1,0)-(0,0,1)] = (0\,,\,t\,,\,1-t)$, $0\le t\le 1$ 로 매개화한다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int_{C_2} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &= \int_{C_2} yz \,\mathrm{d}y =\int_0^1 \overbrace{(t)}^{y} \overbrace{(1-t)}^{z} \overbrace{(1)}^{y'(t)}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (t-t^2)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$$

• $C_3$ 을 $\mathbf{r}(t) = (0,1,0) + t[(1,0,0)-(0,1,0)] = (t\,,\,1-t\,,\,0)$, $0\le t\le 1$ 로 매개화한다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int_{C_3} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &= \int_{C_3} xy \,\mathrm{d}x =\int_0^1 \overbrace{(t)}^{x} \overbrace{(1-t)}^{y} \overbrace{(1)}^{x'(t)}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (t-t^2)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$$

모두 합하면

$$\begin{aligned} \int_{C} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &=\sum_{\ell=1}^3\int_{C_\ell} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z =3\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2} \end{aligned}$$