보존 벡터장

a. 어떤 $\mathbf{F}$, $\mathbf{G}$ 에 대해 $\mathbf{F}+\mathbf{G}$ 가 보존장이라고 하면, 정의에 따라 $\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi$ 를 만족하는 퍼텐셜 $\varphi$ 가 존재한다.

$\mathbf{F}$ 가 보존장이므로, $\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi$ 를 만족하는 퍼텐셜 $\psi$ 도 존재한다.

그러면 $\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi)$ 이다. 즉 함수 $(\varphi-\psi)$ 는 $G$ 의 퍼텐셜이다. 그러나 이는 불가능하다. $\mathbf{G}$ 가 비보존장이므로 이러한 성질을 갖는 함수는 존재하지 않기 때문이다.

따라서 $\mathbf{F}+\mathbf{G}$ 가 보존장일 수는 없다. 즉 비보존장이다. b. 반례: $\mathbf{F} = -\mathbf{G}$ 이면, 임의의 상수 $c$ 에 대해 $\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c$ 이다. c. 두 장이 모두 보존장이므로 둘 다 퍼텐셜을 갖는다. 이를 $\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi$, $\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi$ 라 하자. 그러면 $\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi)$ 이다. 즉 $(\varphi+\psi)$ 는 $\mathbf{F}+\mathbf{G}$ 의 퍼텐셜이므로 $\mathbf{F}+\mathbf{G}$ 는 보존장이다.