그린 정리 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.4절 · 14번

OpenStax 3권 · 6.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

적분 ${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy$ 의 값을 구하세요. 여기서 C는 포물선 $y={x}^{2}\,\text{을}\,(0,0)\text{ 에서 }(2,4)$ 까지 따라가고, 그다음 (2, 4)에서 (2, 0)까지 직선을 따라가며, 마지막으로 (2, 0)에서 (0, 0)까지 직선을 따라가는 곡선입니다.

1사분면에 그려진 벡터장이다. 화살표는 원점에 가까울수록 훨씬 작다. 화살표는 원점에서 멀어지는 위쪽 방향을 향하며, 오른쪽으로 갈수록 기울기가 커진다. 곡선은 원점에서 (2,4)까지 포물선 y=x^2을 따라가고, (2,4)에서 (2,0)까지 직선을 따라가며, (2,0)에서 (0,0)까지 직선을 따라간다. y=x^2의 아래쪽이면서 포물선 아래에 있는 영역이 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

Evaluate integral ${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy,$ where C is the curve that follows parabola $y={x}^{2}\,\text{from}\,(0,0)\text{ to }(2,4),$ then the line from (2, 4) to (2, 0), and finally the line from (2, 0) to (0, 0).

A vector field in quadrant 1. The arrows are much smaller closer to the origin. They point up and away from the origin, with increasing slope the further they are to the right. The curve follows the parabola y=x^2 from the origin to (2,4), the line from (2,4) to (2,0), and the line from (2,0) to (0,0). The area under y=x^2 and below the parabola is shaded.

정답·풀이 보기

${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy=0$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{C}({x}^{2}+{y}^{2})dx+2xydy=0$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.4절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서는 그린 정리를 이용하여 넓이를 구하세요.

타원 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$ 과 원 ${x}^{2}+{y}^{2}=25$ 사이의 넓이를 구하세요.

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$A=19\pi$

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