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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

면적분과 플럭스

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 6.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

얇은 판이 원뿔 z=x2+y2z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} 안쪽에 놓인 구 x2+y2+z2=a2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2} 의 일부분 모양이다. S 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 a 인 구껍질이라 하고, C 는 꼭짓점이 원점에 있고 대칭축이 z축과 일치하는 직원뿔이라 하자. ρ(x,y,z)=x2y2z\rho (x,y,z)={x}^{2}{y}^{2}z 일 때, 이 얇은 판의 질량을 구하세요.

3차원 그림이다. 원뿔이 위쪽으로 벌어져 있고, 뾰족한 끝은 원점에 있으며 대칭축은 *z*축과 일치한다. 원점을 중심으로 하는 반구의 윗부분이 아래쪽으로 열린 모양이며, *xy*평면에서 잘려 있다.

영어 원문 보기

A lamina has the shape of a portion of sphere x2+y2+z2=a2{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2} that lies within cone z=x2+y2.z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}. Let S be the spherical shell centered at the origin with radius a, and let C be the right circular cone with a vertex at the origin and an axis of symmetry that coincides with the z-axis. Determine the mass of the lamina if ρ(x,y,z)=x2y2z.\rho (x,y,z)={x}^{2}{y}^{2}z.

A diagram in three dimensions. A cone opens upward with point at the origin and an asic of symmetry that coincides with the z-axis. The upper half of a hemisphere with center at the origin opens downward and is cut off by the xy-plane.

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m=πa7192m=\frac{\pi {a}^{7}}{192}

원본 교재 풀이(영어)

m=πa7192m=\frac{\pi {a}^{7}}{192}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.6절 · 45번우리말 번역

곡면적분 ∬Sx2yzdS{\iint }_{S}{x}^{2}yzdS 의 값을 구하세요. 여기서 S는 평면 z=1+2x+3yz=1+2x+3y 의 일부로, 직사각형 0≤x≤3 그리고 0≤y≤20\le x\le 3\,\text{그리고}\,0\le y\le 2 의 위쪽에 놓인 부분이다.

다 풀었으면 정답 확인

∬Sx2yzdS=17114{\iint }_{S}{x}^{2}yzdS=171\sqrt{14}

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# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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