스토크스 정리 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.7절 · 2번

OpenStax 3권 · 6.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 스토크스 정리를 사용하지 않고, 주어진 곡면 위에서 $\text{curl}\,\text{F}\cdot \text{N}$ 의 플럭스와 그 경계를 따른 순환 적분을 모두 직접 계산하세요. 단, 모든 경계는 양의 방향이라고 가정합니다.

$\text{F}(x,y,z)=z\text{i}+x\text{j}+y\text{k};$ S 는 반구 $z={({a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2})}^{1/2}$ 입니다.

영어 원문 보기

For the following exercises, without using Stokes’ theorem, calculate directly both the flux of $\text{curl}\,\text{F}\cdot \text{N}$ over the given surface and the circulation integral around its boundary, assuming all boundaries have positive orientation.

$\text{F}(x,y,z)=z\text{i}+x\text{j}+y\text{k};$ S is hemisphere $z={({a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2})}^{1/2}.$

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}(\text{curl}\,\text{F}\cdot \text{N})dS=\pi {a}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}(\text{curl}\,\text{F}\cdot \text{N})dS=\pi {a}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.7절 · 8번우리말 번역

$\text{F}(x,y,z)=xy\text{i}+{x}^{2}\text{j}+{z}^{2}\text{k}$ 이고 S는 포물면 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 중 평면 $z=y$ 아래쪽에 있는 부분이며, 바깥쪽 법선벡터를 사용한다.

다 풀었으면 정답 확인

${\iint }_{S}(\text{curl}\,\text{F}\cdot \text{N})dS=0$

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