스토크스 정리 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.7절 · 20번

OpenStax 3권 · 6.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

스토크스 정리를 사용하여 $\int_{C}\left(\frac{1}{2}{y}^{2}dx+zdy+xdz\right)$ 의 값을 구하세요. 여기서 C 는 평면 $x+z=1$ 과 타원면 ${x}^{2}+2{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 의 교선이며, 원점에서 보았을 때 시계 방향으로 방향이 주어져 있다.

3차원 공간에서 서로 만나는 평면과 타원면을 나타낸 그림이다. 두 도형이 만나는 교선을 주황색 곡선으로 표시하였다.

영어 원문 보기

Use Stokes’ theorem to evaluate $\int_{C}\left(\frac{1}{2}{y}^{2}dx+zdy+xdz\right),$ where C is the curve of intersection of plane $x+z=1$ and ellipsoid ${x}^{2}+2{y}^{2}+{z}^{2}=1,$ oriented clockwise from the origin.

A diagram of an intersecting plane and ellipsoid in three dimensional space. There is an orange curve drawn to show the intersection.

정답·풀이 보기

$\int_{C}\left(\frac{1}{2}{y}^{2}dx+zdy+xdz\right)=-\frac{\pi }{4}$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{C}\left(\frac{1}{2}{y}^{2}dx+zdy+xdz\right)=-\frac{\pi }{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.7절 · 36번우리말 번역

[계산기 사용] CAS와 스토크스 정리를 사용하여 ${\int }_{C}F\cdot dr$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=(3z-\sin \,x)\text{i}+({x}^{2}+{e}^{y})\text{j}+({y}^{3}-\cos \,z)\text{k}$ 이고, C 는 $x=\cos \,t,y=\sin \,t,z=1;0\le t\le 2\pi$ 로 주어진 곡선입니다.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{C}F\cdot dr=0$

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