스토크스 정리

(a) 그림은 다음과 같다.

(b) 복잡한 벡터장을 비교적 복잡한 닫힌곡선을 따라 선적분하는 문제이다. 따라서 적분을 직접 계산하려 해서는 안 된다는 것을 알 수 있다. 스토크스 정리를 이용해 보자. 먼저 회전(curl)을 계산한다.

$$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ \frac{2z}{1+y}+\sin(x^2) & \frac{3z}{1+x}+\sin(y^2) & 5(x+1)(y+2) \end{matrix} \right] \\ &= \Big(5(x+1)-\frac{3}{1+x}\Big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\Big(5(y+2)-\frac{2}{1+y}\Big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\Big(-\frac{3z}{(1+x)^2}+\frac{2z}{(1+y)^2}\Big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

다음으로 경계가 $C$ 인 곡면 $S$ 를 찾아야 한다. 곡면 $S$ 를 평평한 두 부분의 합집합으로 잡을 수 있다.

• $xz$평면 위의 삼각형 $S_x$: 꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(2,0,0)$, $(0,0,2)$ 이다.
• $yz$평면 위의 삼각형 $S_y$: 꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(0,0,2)$, $(0,3,0)$ 이다.

다음에 주목한다.

• 스토크스 정리에서 정해지는 $S_x$ 의 법선벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. $S_x$ 위에서는 $y=0$ 이므로 ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 $-\big(5(0+2)-\frac{2}{1+0}\big)=-8$ 로 간단해진다.
• 스토크스 정리에서 정해지는 $S_y$ 의 법선벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이다. $S_y$ 위에서는 $x=0$ 이므로 ${ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 는 $\big(5(0+1)-\frac{3}{1+0}\big)=2$ 로 간단해진다.

따라서 스토크스 정리에 의해 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _{S_x} \overbrace{{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})}^{8}\,\mathrm{d}S + \iint _{S_y} \overbrace{{ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})}^{-2}\,\mathrm{d}S \\ &=8\,\text{넓이}(S_x) -2\,\text{넓이}(S_y) =8\frac{1}{2}(2)(2) -2\frac{1}{2}(3)(2) \\ &=10 \end{aligned}$$