스토크스 정리 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.7절 · 42번

OpenStax 3권 · 6.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

포물면 $z={x}^{2}+{y}^{2},$ $0\le z\le 4$ 를 평면 $y=0$ 으로 자르세요. S 는 $y\ge 0$ 에서 남는 곡면이며, xz-평면 위의 평면 부분을 포함합니다. C 는 평면 $z=4$ 에서 S 의 뚜껑 부분의 경계를 이루는 반원과 선분이며, 방향은 반시계 방향입니다. $\text{F}=\langle 2z+y,2x+z,2y+x\rangle$ 라 할 때, ${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS$ 의 값을 구하세요.

3차원 공간에서 벡터장을 나타낸 그림으로, 꼭짓점이 원점에 있는 포물면, 평면 y=0, 평면 z=4가 서로 만나고 있다. 남는 곡면은 z=4 아래이고 y=0 위에 있는 포물면의 절반이다.

영어 원문 보기

Take paraboloid $z={x}^{2}+{y}^{2},$ for $0\le z\le 4,$ and slice it with plane $y=0.$ Let S be the surface that remains for $y\ge 0,$ including the planar surface in the xz-plane. Let C be the semicircle and line segment that bounded the cap of S in plane $z=4$ with counterclockwise orientation. Let $\text{F}=\langle 2z+y,2x+z,2y+x\rangle .$ Evaluate ${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS$

A diagram of a vector field in three dimensional space where a paraboloid with vertex at the origin, plane at y=0, and plane at z=4 intersect. The remaining surface is the half of a paraboloid under z=4 and above y=0.

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS=2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS=2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.7절 · 10번우리말 번역

스토크스 정리를 이용하여 $\int_{C}[2x{y}^{2}zdx+2{x}^{2}yzdy+({x}^{2}{y}^{2}-2z)dz]$ 의 값을 구하세요. 여기서 C는 $x=\cos \,t,y=\sin \,t,z=\sin \,t,0\le t\le 2\pi$ 로 주어진 곡선이며, t가 증가하는 방향으로 돈다.

3차원 공간의 벡터장이다. 화살표는 x, y 평면에서 멀수록 더 크다. 화살표들은 x, y 평면의 아래쪽에서 위로 휘어 올라 평면보다 약간 위쪽까지 이어지고, 나머지는 대체로 아래쪽이나 수평 방향으로 휜다. 공간의 가운데를 지나는 타원형 곡선이 그려져 있다.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{C}\text{F}\cdot dr=0$

이 문제로 이어서 풀기

# 스토크스 정리그래프·표 해석자동 분류