스토크스 정리

(a) 회전은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \tfrac{\partial}{\partial x} & \tfrac{\partial}{\partial y} & \tfrac{\partial}{\partial z} \\ 2+x^2+z & 0 & 3+x^2z \end{matrix} \right] =(1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$$

(b) 스토크스 정리를 이용한다. 주어진 곡선 $C$ 는 닫혀 있지 않으므로 어떤 곡면의 경계가 아니다. 그래서 $C$ 에 $(2,0,0)$ 에서 $(0,0,0)$ 까지의 선분 $L$ 을 이어 붙여 $C$ 를 닫힌 곡선 $\tilde C$ 로 확장한다. 아래 그림에서 $C$ 는 빨간 곡선이고 $\tilde C$ 는 $C$ 와 파란 선분을 합한 것이다.

닫힌 곡선 $\tilde C$ 는 다음 두 삼각형의 합집합인 곡면 $S$ 의 경계이다.

• $yz$평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(0,0,3)$, $(0,1,0)$ 이며 법선 벡터가 $-\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 인 삼각형 $T_1$
• $xy$평면 위에 있고 꼭짓점이 $(0,0,0)$, $(0,1,0)$, $(2,0,0)$ 이며 법선 벡터가 $-\hat{\mathbf{k}}$ 인 삼각형 $T_2$

따라서 스토크스 정리에 의해

$$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_L \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &= \int_{\partial S} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint _S { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &= \iint _{T_1} { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{T_2} { \boldsymbol{\nabla} }\times \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iint _{T_1} (1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\imath}})\,\mathrm{d}S + \iint _{T_2} (1-2xz)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &=0 \end{aligned}$$

그러므로 구하려는 적분은

$$\begin{aligned} \int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=- \int_L \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =- \int_2^0 (2+x^2)\,\mathrm{d}x \qquad\text{$L$ 위에서 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}z=z=0$ 이므로} \\ &=\int_0^2 (2+x^2)\,\mathrm{d}x ={\left[2x+\frac{x^3}{3}\right]}_0^2 =\frac{20}{3} \end{aligned}$$