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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

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OpenStax 3권 · 6.8절 · 18번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 F(x,y,z)=x4i−x3z2j+4xy2zk\text{F}(x,y,z)={x}^{4}\text{i}-{x}^{3}{z}^{2}\text{j}+4x{y}^{2}z\text{k} 에 대한 면적분 ∬SF⋅dS{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S} 의 값을 구하세요. 여기서 S 는 원기둥 x2+y2=1{x}^{2}+{y}^{2}=1 의 안쪽에서 평면 z=x+2 와 z=0z=x+2\,\text{와}\,z=0 사이에 있는 곡면이다.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to calculate surface integral ∬SF⋅dS{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S} for F(x,y,z)=x4i−x3z2j+4xy2zk,\text{F}(x,y,z)={x}^{4}\text{i}-{x}^{3}{z}^{2}\text{j}+4x{y}^{2}z\text{k}, where S is the surface inside the cylinder x2+y2=1{x}^{2}+{y}^{2}=1 between the planes z=x+2 and z=0.z=x+2\,\text{and}\,z=0.

정답·풀이 보기

∬SF⋅dS=2π3{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{2\pi }{3}

원본 교재 풀이(영어)

∬SF⋅dS=2π3{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{2\pi }{3}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.8절 · 50번우리말 번역

다음 문제에서 푸리에의 열전달 법칙에 따르면, 한 점에서의 열류 벡터 F 는 온도의 기울기(그레이디언트)에 음의 부호를 붙인 것에 비례한다. 즉 F=−k∇T\text{F}=-k\nabla T 이며, 이는 열에너지가 뜨거운 영역에서 차가운 영역으로 흐른다는 뜻이다. 상수 k>0k>0 을 열전도율이라 하며, 미터법 단위는 미터·초·켈빈당 줄 또는 미터·켈빈당 와트이다. 영역 D 의 온도 함수가 주어져 있다. 발산 정리를 이용하여 k=1k=1 일 때 D 의 경계 S 를 지나 바깥쪽으로 흐르는 순열류 ∬SF⋅NdS=−k∬S∇T⋅NdS{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=-k{\iint }_{S}\nabla T\cdot \text{N}dS 를 구하세요.

T(x,y,z)=100+e−z;T(x,y,z)=100+{e}^{-z}; D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}D=\{(x,y,z):0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}

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e−1−1{e}^{-1}-1

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OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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