빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 6.8절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 푸리에의 열전달 법칙에 따르면, 한 점에서의 열류 벡터 F 는 온도의 기울기(그레이디언트)에 음의 부호를 붙인 것에 비례한다. 즉 F=−k∇T\text{F}=-k\nabla T 이며, 이는 열에너지가 뜨거운 영역에서 차가운 영역으로 흐른다는 뜻이다. 상수 k>0k>0 을 열전도율이라 하며, 미터법 단위는 미터·초·켈빈당 줄 또는 미터·켈빈당 와트이다. 영역 D 의 온도 함수가 주어져 있다. 발산 정리를 이용하여 k=1k=1 일 때 D 의 경계 S 를 지나 바깥쪽으로 흐르는 순열류 ∬SF⋅NdS=−k∬S∇T⋅NdS{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=-k{\iint }_{S}\nabla T\cdot \text{N}dS 를 구하세요.

T(x,y,z)=100+e−z;T(x,y,z)=100+{e}^{-z}; D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}D=\{(x,y,z):0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}

영어 원문 보기

For the following exercises, Fourier’s law of heat transfer states that the heat flow vector F at a point is proportional to the negative gradient of the temperature; that is, F=−k∇T,\text{F}=-k\nabla T, which means that heat energy flows hot regions to cold regions. The constant k>0k>0 is called the conductivity, which has metric units of joules per meter per second-kelvin or watts per meter-kelvin. A temperature function for region D is given. Use the divergence theorem to find net outward heat flux ∬SF⋅NdS=−k∬S∇T⋅NdS{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=-k{\iint }_{S}\nabla T\cdot \text{N}dS across the boundary S of D, where k=1.k=1.

T(x,y,z)=100+e−z;T(x,y,z)=100+{e}^{-z}; D={(x,y,z):0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}D=\{(x,y,z):0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1\}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

e−1−1{e}^{-1}-1

원본 교재 풀이(영어)

e−1−1{e}^{-1}-1

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.8절 · 46번우리말 번역

발산 정리를 이용하여 ∬SF⋅dS{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S} 의 값을 구하세요. 여기서 F(x,y,z)=xyi−12y2j+zk\text{F}(x,y,z)=xy\text{i}-\frac{1}{2}{y}^{2}\text{j}+z\text{k} 이고, S 는 세 부분으로 이루어진 곡면입니다. 위쪽은 z=4−3x2−3y2,1≤z≤4z=4-3{x}^{2}-3{y}^{2},1\le z\le 4 이고, 옆면은 x2+y2=1,0≤z≤1{x}^{2}+{y}^{2}=1,0\le z\le 1 이며, 아래쪽은 z=0z=0 입니다.

다 풀었으면 정답 확인

∬SF⋅dS=5π2{\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{5\pi }{2}

이 문제로 이어서 풀기
# 발산 정리활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「발산 정리」 문제 목록으로