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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 6.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

∬SF⋅NdS{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS 의 값을 구하세요. 여기서 F(x,y,z)=x2i+xyj+x3y3k\text{F}(x,y,z)={x}^{2}\text{i}+xy\text{j}+{x}^{3}{y}^{3}\text{k} 이고, S 는 평면 x+y+z=1x+y+z=1 과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체의 모든 면으로 이루어진 곡면이며, N 은 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이다.

3차원 벡터장이며, 화살표는 원점에서 멀어질수록, 특히 x 성분에서 더 커진다. S는 평면 x + y + z = 1로 둘러싸인 사면체의 모든 면으로 이루어진 곡면이다. 따라서 주어진 평면의 일부와 (x, y)평면, (x, z)평면, (y, z)평면이 나타나 있다. 화살표는 x 성분이 음수이면 원점 쪽을 향하고, x 성분이 양수이면 원점에서 멀어지는 쪽을 향하며, x가 양수이고 y가 음수인 경우와 y가 양수이고 x가 음수인 경우에는 아래쪽을 향하고, …경우에도 아래쪽을 향한다.

영어 원문 보기

Evaluate ∬SF⋅NdS,{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS, where F(x,y,z)=x2i+xyj+x3y3k\text{F}(x,y,z)={x}^{2}\text{i}+xy\text{j}+{x}^{3}{y}^{3}\text{k} and S is the surface consisting of all faces of the tetrahedron bounded by plane x+y+z=1x+y+z=1 and the coordinate planes, with outward unit normal vector N.

A vector field in three dimensions, with arrows becoming larger the further away from the origin they are, especially in their x components. S is the surface consisting of all faces of the tetrahedron bounded by the plane x + y + z = 1. As such, a portion of the given plane, the (x, y) plane, the (x, z) plane, and the (y, z) plane are shown. The arrows point towards the origin for negative x components, away from the origin for positive x components, down for positive x and negative y components, as well as positive y and negative x components, and for positive x and y components, as well as negative x and negative y components.

정답·풀이 보기

∬SF⋅NdS=18{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{1}{8}

원본 교재 풀이(영어)

∬SF⋅NdS=18{\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{1}{8}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 27번우리말 번역

벡터장 F(x,y,z)=−2xy ı^+(y2+sin⁡(xz)) ȷ^+(x2+y2) k^\mathbf{F}(x,y,z) =-2xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(y^2+\sin(xz)\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(x^2+y^2)\,\hat{\mathbf{k}} 를 생각하세요.

(a) ∇⋅F\nabla\cdot \mathbf{F} 를 계산하세요. (b) 곡면 SS 의 바깥쪽 법선벡터를 사용하여, 다음으로 정의되는 곡면 SS 를 지나는 F\mathbf{F} 의 플럭스를 구하세요.

x2+y2+(z−12)2=132, z≥0x^2+y^2+(z-12)^2=13^2,\ z\ge 0

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(a)
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(a) F\mathbf{F} 의 발산은 다음과 같다.

∇⋅F=∂∂x(−2xy)+∂∂y(y2+sin⁡(xz))+∂∂z(x2+y2)=−2y+2y+0=0\nabla\cdot \mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}\big(-2xy\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(y^2+\sin(xz)\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(x^2+y^2\big) =-2y+2y+0=0

(b) 주어진 곡면을 SS 라 하고

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+(z−12)2≤132, z≥0 }V = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-12)^2\le 13^2,\ z\ge 0\ \big\}

로 놓는다.

VV 의 경계 ∂V\partial V 는 두 부분으로 이루어진다. 바깥쪽 법선벡터를 갖는 SS 와, 법선벡터가 −k^-\hat{\mathbf{k}} 인 원판

D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤132−122=52, z=0 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 13^2-12^2=5^2,\ z=0\ \big\}

이다. 발산 정리에 의해 구하는 플럭스는 다음과 같다.

∬SF⋅n^ ds=∭V∇⋅F dV−∬DF⋅(−k^) dS=∭V0 dV+∬D(x2+y2)dxdy=0+∫05dr r∫02πdθ r2=2π544=6252π\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}s &=\iiint _V\nabla\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V - \iint _D \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\ \mathrm{d}S\\ &=\iiint _V 0 \ \mathrm{d}V + \iint _D (x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=0 +\int_0^5\mathrm{d}r\ r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r^2 \\ &=2\pi\frac{5^4}{4} = \frac {625}{2}\pi \end{aligned}

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# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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