발산 정리 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.8절 · 32번

OpenStax 3권 · 6.8절 · 32번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 ${\iint }_{S}\| \text{R}\| \text{R}\cdot ndS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{R}(x,y,z)=x\text{i}+y\text{j}+z\text{k}$ 이고 S 는 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 이며, $a>0$ 은 상수입니다.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to evaluate ${\iint }_{S}\| \text{R}\| \text{R}\cdot ndS,$ where $\text{R}(x,y,z)=x\text{i}+y\text{j}+z\text{k}$ and S is sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2},$ with constant $a>0.$

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\| \text{R}\| \text{R}\cdot ndS=4\pi {a}^{4}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\| \text{R}\| \text{R}\cdot ndS=4\pi {a}^{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.8절 · 30번우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)={x}^{2}\text{i}+xy\text{j}+{x}^{3}{y}^{3}\text{k}$ 이고, S 는 평면 $x+y+z=1$ 과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체의 모든 면으로 이루어진 곡면이며, N 은 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이다.

3차원 벡터장이며, 화살표는 원점에서 멀어질수록, 특히 x 성분에서 더 커진다. S는 평면 x + y + z = 1로 둘러싸인 사면체의 모든 면으로 이루어진 곡면이다. 따라서 주어진 평면의 일부와 (x, y)평면, (x, z)평면, (y, z)평면이 나타나 있다. 화살표는 x 성분이 음수이면 원점 쪽을 향하고, x 성분이 양수이면 원점에서 멀어지는 쪽을 향하며, x가 양수이고 y가 음수인 경우와 y가 양수이고 x가 음수인 경우에는 아래쪽을 향하고, …경우에도 아래쪽을 향한다.

다 풀었으면 정답 확인

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{1}{8}$

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