발산 정리 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.8절 · 46번

OpenStax 3권 · 6.8절 · 46번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 ${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=xy\text{i}-\frac{1}{2}{y}^{2}\text{j}+z\text{k}$ 이고, S 는 세 부분으로 이루어진 곡면입니다. 위쪽은 $z=4-3{x}^{2}-3{y}^{2},1\le z\le 4$ 이고, 옆면은 ${x}^{2}+{y}^{2}=1,0\le z\le 1$ 이며, 아래쪽은 $z=0$ 입니다.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to evaluate ${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S},$ where $\text{F}(x,y,z)=xy\text{i}-\frac{1}{2}{y}^{2}\text{j}+z\text{k}$ and S is the surface consisting of three pieces: $z=4-3{x}^{2}-3{y}^{2},1\le z\le 4$ on the top; ${x}^{2}+{y}^{2}=1,0\le z\le 1$ on the sides; and $z=0$ on the bottom.

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{5\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\frac{5\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.8절 · 44번우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=bx{y}^{2}\text{i}+b{x}^{2}y\text{j}+({x}^{2}+{y}^{2}){z}^{2}\text{k}$ 이고, S 는 속이 찬 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}\le {a}^{2}$ , $0\le z\le b$ 의 경계입니다.

다 풀었으면 정답 확인

${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}=\pi {a}^{4}{b}^{2}$

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