This statement is true. Use a proof by contradiction. So assume that there exist integers $a$ and $b$ such that $a$ is even, $b$ is odd, and 4 divides $a^2 + b^2$ . So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m \qquad \text{ and } \qquad a^2 + b^2 = 4n$

. Substitute $a = 2m$ into the second equation and use algebra to rewrite in the form $b^2 = 4(n - m^2)$ . This means that $b^2$ is even and hence, that $b$ is even. This is a contradiction to the assumption that $b$ is odd.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2b번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

24.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2b번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is even and $b$ is odd, then $6$ does not divide $\left( a^2 + b^2 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true. Use a proof by contradiction. So assume that there exist integers $a$ and $b$ such that $a$ is even, $b$ is odd, and 6 divides $a^2 + b^2$ . So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m \qquad \text{ and } \qquad a^2 + b^2 = 6n$

. Substitute $a = 2m$ into the second equation and use algebra to rewrite in the form $b^2 = 2(3n - 2m^2)$ . This means that $b^2$ is even and hence, that $b$ is even. This is a contradiction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2d번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

25.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2c번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is even and $b$ is odd, then $4$ does not divide $\left( a^2 + 2b^2 \right)$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 3g번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

26.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2d번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is odd and $b$ is odd, then $4$ divides $\left( a^2 + 3b^2 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true. Use a direct proof. Let $a$ and $b$ be integers and assume they are odd. So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m + 1 \qquad \text{ and } \qquad b = 2n + 1$

. We then see that

$\begin{aligned}a^2 + 3b^2 & = 4m^2 + 4m + 1 + 12n^2 + 12n + 3 \\ & = 4\left( m^2 + m + 3n^2 + 3n + 1 \right)\end{aligned}$

. This shows that 4 divides $a^2 + 3b^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 1a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

27.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6a번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For each positive real number $x$ , if $x$ is irrational, then $x^2$ is irrational.

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is false. A counterexample is $x = \sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6b번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

28.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6b번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For each positive real number $x$ , if $x$ is irrational, then $\sqrt x$ is irrational.

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true since the contrapositive is true. The contrapositive is:

For any real number

, if

\sqrt{x}

is rational, then

is rational.

If there exist integers $a$ and $b$ with $b \ne 0$ such that $\sqrt{x} = \dfrac{a}{b}$ , then $x^2 = \dfrac{a^2}{b^2}$ and hence, $x^2$ is rational.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 3a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

29.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6c번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For every pair of real numbers $x$ and $y$ , if $x + y$ is irrational, then $x$ is irrational and $y$ is irrational.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.2절 · 8c번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

30.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6d번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For every pair of real numbers $x$ and $y$ , if $x + y$ is irrational, then $x$ is irrational or $y$ is irrational.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

31.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 9번영어 원문

Is the following statement true or false?

For all positive real numbers

and

\sqrt {x + y} \leq \sqrt x + \sqrt y

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

32.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 10번영어 원문

Is the following proposition true or false? Justify your conclusion.

For each real number

x \left( 1 - x \right) \leq \dfrac{1}{4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 1a번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

33.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 15c번영어 원문

Three natural numbers $a$ , $b$ , and $c$ with $a \lt b \lt c$ are called a Pythagorean triple

provided that $a^2 + b^2 = c^2$ . For example, the numbers 3, 4, and 5 form a Pythagorean triple, and the numbers 5, 12, and 13 form a Pythagorean triple.

Is the following proposition true or false? Justify your conclusion. For all integers $a$ , $b$ , and $c$ , if $a^2 + b^2 = c^2$ , then $a$ is even or $b$ is even.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 5b번

# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류