문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

삼각치환

√(a²−x²) 같은 꼴을 x=a sin θ 등으로 바꾸어 적분한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 1.9절 · 23번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\dfrac{(1+x^2)^{3/2}}{x}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. $\displaystyle\int \csc \theta~\mathrm{d}\theta=\log|\cot \theta - \csc \theta|+C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{(1+x^2)^{3/2}}{x}\mathrm{d}x$ . You may use the fact that $\displaystyle\int \csc \theta~\mathrm{d}\theta=\log|\cot \theta - \csc \theta|+C$ .

정답·풀이 보기

치환 $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 이용한다.

$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{첫 번째 적분에서는 치환 $w=\sec u$ 를 이용한다. 두 번째는 $2\sec u$ 의 부정적분이다. 세 번째는 $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~로 간단히 한다.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{ ![그림](clp/tikz/f1bcb1bbbc.png) } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{처음에 치환 $x=\tan u$ 를 사용했다. 그러면 $\cot u = \frac{1}{x}$ 이다. $\csc u$ 와 $\sec u$ 를 구하기 위해, 각 $u$ 가 있고 높이가 $x$, 밑변이 $1$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리로 빗변의 길이를 구할 수 있다.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{For the first integral, we use the substitution $w=\sec u$. The second is the antiderivative of $2\sec u$. The third we simplify as $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{ ![figure](clp/tikz/f1bcb1bbbc.png) } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{We began with the substitution $x=\tan u$. Then $\cot u = \frac{1}{x}$. To find $\csc u$ and $\sec u$, we draw a right triangle with angle $u$, opposite side $x$, and adjacent side $1$. The Pythagorean Theorem gives us the hypotenuse.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 25번

# 삼각치환계산도전자동 분류

2.CLP-2 · 1.9절 · 28번대학 수준우리말 번역

(a) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2-x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sin u$ (역함수는 $u = \arcsin(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\cos u|\neq a\cos u$ 인지 구하세요. (b) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2+x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\tan u$ (역함수는 $u = \arctan(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\sec u|\neq a\sec u$ 인지 구하세요. (c) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{x^2-a^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sec u$ (역함수는 $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\tan u|\neq a\tan u$ 인지 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2-x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sin u$ (with inverse $u = \arcsin(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ Under what circumstances is $|a\cos u|\neq a\cos u$ ? (b) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2+x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\tan u$ (with inverse $u = \arctan(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ Under what circumstances is $|a\sec u|\neq a\sec u$ ? (c) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{x^2-a^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sec u$ (with inverse $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ ), so that $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ Under what circumstances is $|a\tan u|\neq a\tan u$ ?

정답·풀이 보기

임의의 값 $X$ 에 대해 $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{(}X \ge 0\text{ 일 때)}\\ -X&\text{(}X \le 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 임을 기억하자. 따라서 $|X| \neq X$ 인 것은 정확히 $X<0$ 일 때이다.

(a) 아크사인의 치역은 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 이다. 따라서 $u=\arcsin(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 범위에 있다. 그러므로 $\cos u \geq 0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\cos u \ge 0$ 이고, 따라서 $a\cos u = |a\cos u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ 가 항상 성립한다.

(b) 아크탄젠트의 치역은 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 이다. 따라서 $u=\arctan(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 범위에 있다. 그러므로 $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\sec u > 0$ 이고, 따라서 $a\sec u = |a\sec u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ 가 항상 성립한다.

(c) 아크코사인의 치역은 $\big[0,\pi \big]$ 이다. 따라서 $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ 이므로 $u$ 는 $\big[0,\pi\big]$ 범위에 있다. (사실 시컨트는 $\pi/2$ 에서 정의되지 않으므로 $u$ 는 $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ 범위에 있다.) $|a\tan u| \neq a\tan u$ 이면 $\tan u <0$ 이고, 이는 $u$ 가 $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ 범위에 있을 때 일어난다. 이 범위는 $-1<\cos u <0$ 인 범위와 같으므로 $-1<\frac{a}{x}<0$ 이다. $\frac{a}{x}<0$ 이므로 $a$ 와 $x$ 의 부호가 다르고, 따라서 $x<0$ 이다. 그러면 $-1<\frac{a}{x}$ 이므로 $x<-a$ 이기도 하다.

그러므로 $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ 가 성립하는 것은 정확히 $x< -a$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Remember that for any value $X$ , $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{if }X \ge 0\\ -X&\text{if }X \le 0 \end{array}\right.$ So, $|X| \neq X$ precisely when $X<0$ .

(a) The range of arcsine is $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . So, since $u=\arcsin(x/a)$ , $u$ is in the range $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . Therefore $\cos u \geq 0$ . Since $a$ is positive, $a\cos u \ge 0$ , so $a\cos u = |a\cos u|$ . That is, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ all the time.

(b) The range of arctangent is $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . So, since $u=\arctan(x/a)$ , $u$ is in the range $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . Therefore $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ . Since $a$ is positive, $a\sec u > 0$ , so $a\sec u = |a\sec u|$ .That is, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ all the time.

(c) The range of arccosine is $\big[0,\pi \big]$ . So, since $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ , $u$ is in the range $\big[0,\pi\big]$ . (Actually, it's in the range $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ , since secant is undefined at $\pi/2$ .) If $|a\tan u| \neq a\tan u$ , then $\tan u <0$ , which happens when $u$ is in the range $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ . This is the same range over which $-1<\cos u <0$ , and so $-1<\frac{a}{x}<0$ . Since $\frac{a}{x}<0$ , $a$ and $x$ have different signs, so $x<0$ . Then since $-1<\frac{a}{x}$ , also $x<-a$ .

So, $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ happens precisely when when $x< -a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번

# 삼각치환계산도전자동 분류