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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

적분 기법 전체 문제

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유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

640문제 · 1 / 32쪽

1.OpenStax 2권 · 3.1절 · 53번우리말 풀이

다음 적분을 계산할 때 부분적분을 쓸지 말해 보세요. 쓴다면 uu 와 dvdv 를 정하고, 쓰지 않는다면 실제로 풀지는 말고 어떤 방법을 쓸지 설명하세요.

∫ln⁡2xxdx\int \frac{\ln^{2}x}{x}dx

영어 원문 보기

State whether you would use integration by parts to evaluate the integral. If so, identify u and dv. If not, describe the technique used to perform the integration without actually doing the problem.

∫ln⁡2xxdx\int \frac{{\ln }^{2}x}{x}dx

풀이 보기

ln⁡x\ln x 의 도함수 1x\frac1x 가 함께 곱해져 있으면 u=ln⁡xu=\ln x 로 치환해요.

  1. 1

    먼저 식을 ln⁡2x⋅1x\ln^2 x\cdot\frac1x 로 읽어요. 여기서 1x\frac1x 는 바로 ln⁡x\ln x 의 도함수예요. 어떤 함수와 그 도함수가 같이 곱해져 있으면 치환적분을 먼저 떠올려요.

  2. 2

    u=ln⁡xu=\ln x 로 놓으면 du=1x dxdu=\frac1x\,dx 예요.

  3. 3

    치환하면 ∫ln⁡2xx dx=∫u2 du\int \frac{\ln^2 x}{x}\,dx=\int u^2\,du 로 아주 간단한 거듭제곱 적분이 돼요.

  4. 4

    그래서 부분적분은 필요 없어요. (참고로 끝까지 풀면 u33+C=ln⁡3x3+C\frac{u^3}{3}+C=\frac{\ln^3 x}{3}+C 예요.)

답

부분적분을 쓰지 않아요. u=ln⁡xu=\ln x 로 치환하면 ∫u2 du\int u^2\,du 꼴이 돼요.

자주 하는 실수

ln⁡\ln 이 보인다고 무조건 부분적분을 쓰면 오히려 더 복잡해질 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

Do not use integration by parts. Choose u to be ln⁡x,\ln x, and the integral is of the form ∫u2du.\int {u}^{2}du.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3장 복습 · 16번
# 적분 전략 고르기개념 확인보통
2.OpenStax 1권 · 5.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 적분의 값을 역삼각함수로 나타내어 구하세요.

∫03/2dx1−x2{\int }_{0}^{\sqrt{3}/2}\frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.

∫03/2dx1−x2{\int }_{0}^{\sqrt{3}/2}\frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

정답·풀이 보기

sin⁡−1x∣03/2=π3{\sin }^{-1}x{|}_{0}^{\sqrt{3}/2}=\frac{\pi }{3}

원본 교재 풀이(영어)

sin⁡−1x∣03/2=π3{\sin }^{-1}x{|}_{0}^{\sqrt{3}/2}=\frac{\pi }{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 7번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 5.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 적분의 값을 역삼각함수로 나타내어 구하세요.

∫−1/21/2dx1−x2{\int }_{-1/2}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.

∫−1/21/2dx1−x2{\int }_{-1/2}^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 7번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 5.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 적분의 값을 역삼각함수로 나타내어 구하세요.

∫31dx1+x2{\int }_{\sqrt{3}}^{1}\frac{dx}{1+{x}^{2}}

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.

∫31dx1+x2{\int }_{\sqrt{3}}^{1}\frac{dx}{1+{x}^{2}}

정답·풀이 보기

tan⁡−1x∣31=−π12{\tan }^{-1}x{|}_{\sqrt{3}}^{1}=-\frac{\pi }{12}

원본 교재 풀이(영어)

tan⁡−1x∣31=−π12{\tan }^{-1}x{|}_{\sqrt{3}}^{1}=-\frac{\pi }{12}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 1번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 5.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 적분의 값을 역삼각함수로 나타내어 구하세요.

∫1/33dx1+x2{\int }_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+{x}^{2}}

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.

∫1/33dx1+x2{\int }_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{1+{x}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 15번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 5.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 적분의 값을 역삼각함수를 써서 구하세요.

∫232dx∣x∣x2−1{\int }_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{|x|\sqrt{{x}^{2}-1}}

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.

∫232dx∣x∣x2−1{\int }_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{|x|\sqrt{{x}^{2}-1}}

정답·풀이 보기

sec⁡−1∣232=π4−π6=π12{\sec }^{-1}{|}_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}

원본 교재 풀이(영어)

sec⁡−1∣232=π4−π6=π12{\sec }^{-1}{|}_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 39번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 5.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 적분의 값을 역삼각함수를 써서 구하세요.

∫22dx∣x∣x2−1{\int }_{\sqrt{2}}^{2}\frac{dx}{|x|\sqrt{{x}^{2}-1}}

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each integral in terms of an inverse trigonometric function.

∫22dx∣x∣x2−1{\int }_{\sqrt{2}}^{2}\frac{dx}{|x|\sqrt{{x}^{2}-1}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 11번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 5.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 부정적분을 구하세요.

∫dx9−x2\int \frac{dx}{\sqrt{9-{x}^{2}}}

영어 원문 보기

In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.

∫dx9−x2\int \frac{dx}{\sqrt{9-{x}^{2}}}

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

sin⁡−1(x3)+C{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C

원본 교재 풀이(영어)

sin⁡−1(x3)+C{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 5번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 5.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 부정적분을 구하세요.

∫dx1−16x2\int \frac{dx}{\sqrt{1-16{x}^{2}}}

영어 원문 보기

In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.

∫dx1−16x2\int \frac{dx}{\sqrt{1-16{x}^{2}}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 5.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 부정적분을 구하세요.

∫dx9+x2\int \frac{dx}{9+{x}^{2}}

영어 원문 보기

In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.

∫dx9+x2\int \frac{dx}{9+{x}^{2}}

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

13tan⁡−1(x3)+C\frac{1}{3}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C

원본 교재 풀이(영어)

13tan⁡−1(x3)+C\frac{1}{3}{\tan }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 3번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 5.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 각 부정적분을 구하세요.

∫dx25+16x2\int \frac{dx}{25+16{x}^{2}}

영어 원문 보기

In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.

∫dx25+16x2\int \frac{dx}{25+16{x}^{2}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 5.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 각 부정적분을 구하세요.

∫dx∣x∣x2−9\int \frac{dx}{|x|\sqrt{{x}^{2}-9}}

영어 원문 보기

In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.

∫dx∣x∣x2−9\int \frac{dx}{|x|\sqrt{{x}^{2}-9}}

정답·풀이 보기

13sec⁡−1(x3)+C\frac{1}{3}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C

원본 교재 풀이(영어)

13sec⁡−1(x3)+C\frac{1}{3}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 9번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 5.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 각 부정적분을 구하세요.

∫dx∣x∣4x2−16\int \frac{dx}{|x|\sqrt{4{x}^{2}-16}}

영어 원문 보기

In the following exercises, find each indefinite integral, using appropriate substitutions.

∫dx∣x∣4x2−16\int \frac{dx}{|x|\sqrt{4{x}^{2}-16}}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 25번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 5.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

관계식 −cos⁡−1t+C=∫dt1−t2=sin⁡−1t+C-{\cos }^{-1}t+C=\int \frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}={\sin }^{-1}t+C 를 설명하세요. 일반적으로 cos⁡−1t=−sin⁡−1t{\cos }^{-1}t=-{\sin }^{-1}t 가 성립하나요?

영어 원문 보기

Explain the relationship −cos⁡−1t+C=∫dt1−t2=sin⁡−1t+C.-{\cos }^{-1}t+C=\int \frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}={\sin }^{-1}t+C. Is it true, in general, that cos⁡−1t=−sin⁡−1t?{\cos }^{-1}t=-{\sin }^{-1}t?

정답·풀이 보기

cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\sin \theta . 따라서 sin⁡−1t=π2−cos⁡−1t{\sin }^{-1}t=\frac{\pi }{2}-{\cos }^{-1}t. 두 식은 상수만큼 차이가 난다.

원본 교재 풀이(영어)

cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ.\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\sin \theta . So, sin⁡−1t=π2−cos⁡−1t.{\sin }^{-1}t=\frac{\pi }{2}-{\cos }^{-1}t. They differ by a constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 11번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 5.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

관계식 sec⁡−1t+C=∫dt∣t∣t2−1=−csc⁡−1t+C{\sec }^{-1}t+C=\int \frac{dt}{|t|\sqrt{{t}^{2}-1}}=-{\csc }^{-1}t+C 를 설명하세요. 일반적으로 sec⁡−1t=−csc⁡−1t{\sec }^{-1}t=-{\csc }^{-1}t 가 성립하나요?

영어 원문 보기

Explain the relationship sec⁡−1t+C=∫dt∣t∣t2−1=−csc⁡−1t+C.{\sec }^{-1}t+C=\int \frac{dt}{|t|\sqrt{{t}^{2}-1}}=-{\csc }^{-1}t+C. Is it true, in general, that sec⁡−1t=−csc⁡−1t?{\sec }^{-1}t=-{\csc }^{-1}t?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 13번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 5.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 적분에서 무엇이 잘못되었는지 설명하세요: ∫12dt1−t2.{\int }_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}.

영어 원문 보기

Explain what is wrong with the following integral: ∫12dt1−t2.{\int }_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{1-{t}^{2}}}.

정답·풀이 보기

t>1t>1 일 때 1−t2\sqrt{1-{t}^{2}} 는 실수로 정의되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

1−t2\sqrt{1-{t}^{2}} is not defined as a real number when t>1.t>1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 13번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 5.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 적분에서 무엇이 잘못되었는지 설명하세요: ∫−11dt∣t∣t2−1.{\int }_{-1}^{1}\frac{dt}{|t|\sqrt{{t}^{2}-1}}.

영어 원문 보기

Explain what is wrong with the following integral: ∫−11dt∣t∣t2−1.{\int }_{-1}^{1}\frac{dt}{|t|\sqrt{{t}^{2}-1}}.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 9번
# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, C=0C=0 일 때 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더하면 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] ∫19−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{9-{x}^{2}}}dx, 구간 [−3,3][-3,3]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫19−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{9-{x}^{2}}}dx over [−3,3][-3,3]

정답·풀이 보기

두 개의 그래프가 있다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 1 / √(9 – x^2) 을 나타낸다. 이 그래프는 위로 열린 곡선이며 y축에 대해 대칭이고, (0, 1/3) 을 지난다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = 아크사인(1/3 x) 를 나타낸다. 이 그래프는 증가하는 곡선이며 원점을 지난다.

부정적분은 sin⁡−1(x3)+C{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C 이다. C=π2C=\frac{\pi }{2} 로 놓으면 정적분이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = 1 / sqrt(9 – x^2). It is an upward opening curve symmetric about the y axis, crossing at (0, 1/3). The second shows the function F(x) = arcsin(1/3 x). It is an increasing curve going through the origin.

The antiderivative is sin⁡−1(x3)+C.{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C. Taking C=π2C=\frac{\pi }{2} recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 25번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 5.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 C=0C=0 으로 하여 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더했을 때 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] ∫99+x2dx\int \frac{9}{9+{x}^{2}}dx, 구간 [−6,6][-6,6]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫99+x2dx\int \frac{9}{9+{x}^{2}}dx over [−6,6][-6,6]

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 1번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 C=0C=0 으로 하여 f 의 부정적분 ∫f\int f 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 [a,b][a,b] 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더했을 때 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] ∫cos⁡x4+sin⁡2xdx\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx, 구간 [−6,6][-6,6]

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative ∫f\int f of f with C=0,C=0, then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval [a,b].[a,b]. Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral F(x)=∫axf(t)dt.F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.

[T] ∫cos⁡x4+sin⁡2xdx\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx over [−6,6][-6,6]

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2) 를 나타낸다. 구간 (-6, 6) 에서 진동하는 함수이며, 방향이 바뀌는 점(전환점)이 대략 (-3, -2.5), (0, .25), (3, -2.5) 에 있다. 이 중 (0,.25) 는 극댓값, 나머지는 극솟값이다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)) 를 나타내며, 이 역시 구간 (-6,6) 에서 진동한다. 꺾이는 점(전환점)은 대략 (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), (4.5, -.25) 에 있다.

부정적분은 12tan⁡−1(sin⁡x2)+C\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C 이다. C=12tan⁡−1(sin⁡(6)2)C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right) 로 놓으면 정적분이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2). It is an oscillating function over (-6, 6) with turning points at roughly (-3, -2.5), (0, .25), and (3, -2.5), where (0,.25) is a local max and the others are local mins. The second shows the function F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)), which also oscillates over (-6,6). It has turning points at roughly (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), and (4.5, -.25).

The antiderivative is 12tan⁡−1(sin⁡x2)+C.\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C. Taking C=12tan⁡−1(sin⁡(6)2)C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right) recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번
# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)