정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ${\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3},$ and ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$ compute the integrals.

${\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx$

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

1
주어진 값은 $x$ , $x^2$ , $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$
2
정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$
3
$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$
4
검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

답

$0$

자주 하는 실수

$(1-2x)^3$ 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

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