정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.CLP-2 · 1.2절 · 17번우리말 번역

다음 표를 채우세요: (우함수/기함수)와 (우함수/기함수)의 곱은 (우함수/기함수)이다. 두 함수 모두 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정해도 됩니다.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

영어 원문 보기

Fill in the following table: the product of an (even/odd) function with an (even/odd) function is an (even/odd) function. You may assume that both functions are defined for all real numbers.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

정답·풀이 보기

우함수와 기함수의 정의를 떠올려 보자. $f(x)$ 가 우함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=f(x)$ 라는 뜻이고, $f(x)$ 가 기함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 라는 뜻이다.

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 라 하자.

**우함수 $\times$ 우함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 우함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**기함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**우함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 가 우함수이고 $g$ 가 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 기함수이다. 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 두 함수를 곱하는 순서는 상관없다.

이 표는 함수가 아니라 짝수와 홀수인 수를 (곱하는 것이 아니라) 더할 때의 표와 같음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's recall the definitions of even and odd functions: $f(x)$ is even if $f(-x)=f(x)$ for every $x$ in its domain, and $f(x)$ is odd if $f(-x)=-f(x)$ for every $x$ in its domain.

Let $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ .

**even $\times$ even: ** If $f$ and $g$ are both even, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**odd $\times$ odd: ** If $f$ and $g$ are both odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**even $\times$ odd: ** If $f$ is even and $g$ is odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ , so their product is odd. Because multiplication is commutative, the order we multiply the functions in doesn't matter.

We note that the table would be the same as if we were adding (not multiplying) even and odd numbers (not functions).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 16번

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