문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

미적분의 기본정리

부정적분 F로 정적분 F(b)−F(a)를 계산하고, 적분과 미분의 관계를 이해한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 1.3절 · 4번우리말 번역

참 또는 거짓: $\dfrac{1}{x^2}$ 의 부정적분은 $\log (x^2)$ 이다 (여기서 $\log x$ 는 밑이 $e$ 인 로그를 뜻한다).

영어 원문 보기

True or false: an antiderivative of $\dfrac{1}{x^2}$ is $\log (x^2)$ (where by $\log x$ we mean logarithm base $e$ ).

답 쓰고 채점

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이런 생각이 들기 쉽다:

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=\log|x|+C \\ \text{ 그러니 아마 비슷하게 } \\ \int \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x&\stackrel{?}{=}\log|x^2|+C=\log(x^2)+C \\ \text{ 미분하여 확인한다:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(x^2)\} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\log x\}=\frac{2}{x} \neq \frac{1}{x^2} \end{aligned}$ 따라서 그렇게 간단하지 않았다: 거짓이다.

부정적분을 추측할 때는 처음의 추측을 조금 고쳐야 하는 경우가 많다. 상수를 바꾸는 것은 잘 통하지만, 함수를 바꾸는 것은 대체로 통하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a tempting thought:

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=\log|x|+C \\ \text{ so perhaps similarly } \\ \int \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x&\stackrel{?}{=}\log|x^2|+C=\log(x^2)+C \\ \text{ We check by differentiating:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(x^2)\} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\log x\}=\frac{2}{x} \neq \frac{1}{x^2} \end{aligned}$ So, it wasn't so easy: false.

When we're guessing antiderivatives, we often need to adjust our original guesses a little. Changing constants works well; changing functions usually does not.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.4절 · 11번

# 미적분의 기본정리개념 확인기본자동 분류

2.CLP-2 · 1.3절 · 5번우리말 번역

참 또는 거짓: $\cos(e^x)$ 의 부정적분은 $\frac{\sin(e^x)}{e^x}$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: an antiderivative of $\cos(e^x)$ is $\frac{\sin(e^x)}{e^x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이렇게 해 보고 싶어진다:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} &= e^x\cos(e^x) \\ \text{그러므로 아마도} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &\stackrel{?}{=} \cos(e^x) \\ \text{미분하여 확인한다:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &=\frac{e^x\left(\cos(e^x)\cdot e^x\right)-\sin(e^x)e^x}{e^{2x}} &\text{(몫의 미분법)}\\ & = \cos (e^x) - \frac{\sin(e^x)}{e^x}\\ &\neq \cos(e^x) \end{aligned}$

따라서 주어진 명제는 거짓이다.

부정적분을 추측할 때에는 처음 추측을 조금 고쳐야 하는 경우가 많다. 상수로 나누는 것은 대체로 잘 되지만, 함수로 나누는 것은 대체로 잘 되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

This is tempting:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} &= e^x\cos(e^x) \\ \text{so perhaps} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &\stackrel{?}{=} \cos(e^x) \\ \text{We check by differentiating:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sin(e^x)}{e^x}\right\} &=\frac{e^x\left(\cos(e^x)\cdot e^x\right)-\sin(e^x)e^x}{e^{2x}} &\text{(quotient rule)}\\ & = \cos (e^x) - \frac{\sin(e^x)}{e^x}\\ &\neq \cos(e^x) \end{aligned}$

So, the statement is false.

When we're guessing antiderivatives, we often need to adjust our original guesses a little. Dividing by constants works well; dividing by functions usually does not.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 4번

# 미적분의 기본정리개념 확인기본자동 분류