정적분으로 나타낸 함수 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.3절 · 14번우리말 풀이

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x^2}\frac{\sqrt t}{1+t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{{x}^{2}}\frac{\sqrt{t}}{1+t}dt$

답 쓰고 채점

풀이 보기

위끝이 $x$ 가 아니라 $x^2$ 이므로 기본정리에 연쇄법칙을 함께 써요.

1
$G(u)=\int_1^u\frac{\sqrt t}{1+t}dt$ 라 하면, 기본정리 1부에서 $G'(u)=\frac{\sqrt u}{1+u}$ 예요. 구하는 식은 $G(x^2)$ 을 $x$ 로 미분한 것이에요.
2
연쇄법칙을 써요. $\frac{d}{dx}G(x^2)=G'(x^2)\cdot(x^2)'=\frac{\sqrt{x^2}}{1+x^2}\cdot2x$ 예요.
3
$\sqrt{x^2}=|x|$ 임에 주의해요. 그래서 결과는 $\frac{2x|x|}{1+x^2}$ 예요.

답

$\frac{2x|x|}{1+x^2}$

자주 하는 실수

속함수의 미분 $2x$ 를 곱하지 않거나, $\sqrt{x^2}$ 를 $x$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$2x\frac{|x|}{1+{x}^{2}}$