편미분방정식 맛보기 연습문제

1.CLP-3 · 2.8절 · 13번대학 수준우리말 번역

$u(x,y)$ 가 편미분방정식

$\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$

을 만족한다고 하자. 여기서 $\alpha (x,y)$ 와 $\beta (x,y)$ 는 주어진 함수이다. $\big(X(t),Y(t)\big)$ 를 $xy$ 평면 위의 곡선(이러한 곡선을 이 편미분방정식의 특성곡선이라고 한다.)이라 하고, 이 곡선이

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha \big(X(t),Y(t)\big) \\ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t)&=\beta \big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

을 만족한다고 하자. $u$ 가 그 곡선을 따라 상수임을 보이세요. 즉, $u\big(X(t),Y(t)\big)$ 가 $t$ 에 무관함을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that $u(x,y)$ obeys the PDE

$\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$

where $\alpha (x,y)$ and $\beta (x,y)$ are given functions. Let $\big(X(t),Y(t)\big)$ be a curve (Such curves are called characteristics of the PDE.) in the $xy$ -plane that obeys

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha \big(X(t),Y(t)\big) \\ \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t)&=\beta \big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

Show that $u$ is constant along that curve. That is, show that $u\big(X(t),Y(t)\big)$ is independent of $t$ .

정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big) &=u_x\big(X(t),Y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}(t) +u_y\big(X(t),Y(t)\big)\,\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}t}(t) \\ &=\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) \end{aligned}$

그런데 $\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$ 에 $x=X(t)$ , $y=Y(t)$ 를 대입하면

$\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) =0$

이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big)=0$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the chain rule,

But evaluating $\alpha (x,y)\,u_x(x,y) +\beta (x,y)\,u_y(x,y)=0$ at $x=X(t)$ , $y=Y(t)$ gives

$\alpha \big(X(t),Y(t)\big)\, u_x\big(X(t),Y(t)\big) +\beta \big(X(t),Y(t)\big)\, u_y\big(X(t),Y(t)\big) =0$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u\big(X(t),Y(t)\big)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.8절 · 11번

# 편미분방정식 맛보기증명·논술도전자동 분류