선형근사와 미분소 연습문제 — Active Calculus · 1.8절 · 8번

Active Calculus · 1.8절 · 8번대학 수준우리말 번역

감자를 오븐에 넣고, 여러 시점에서 감자의 온도 $F$ (화씨 도)를 측정하여 다음 표에 기록하였다. 시간 $t$ 는 분 단위로 측정한다.

감자의 온도 자료.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) 중심차분을 이용하여 $F'(30)$ 을 어림하세요. 이후의 문제에서는 필요한 경우 이 어림값을 사용하세요. (b) $a = 30$ 인 점에서 함수 $y = F(t)$ 의 국소선형근사 $y = L(t)$ 를 구하세요. (c) 국소선형근사를 이용하여 $F(33)$ 의 어림값을 구하세요. (d) (c)에서 구한 어림값이 실제보다 너무 크다고 생각하나요, 아니면 너무 작다고 생각하나요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

A potato is placed in an oven, and the potato's temperature $F$ (in degrees Fahrenheit) at various points in time is taken and recorded in the following table. Time $t$ is measured in minutes.

Temperature data for the potato.

$t$	$0$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$F(t)$	$65$	$94.7$	$141.7$	$167.6$	$182.4$	$197.9$	$209.3$

(a) Use a central difference to estimate $F'(30)$ . Use this estimate as needed in subsequent questions. (b) Find the local linearization $y = L(t)$ to the function $y = F(t)$ at the point where $a = 30$ . (c) Determine an estimate for $F(33)$ by employing the local linearization. (d) Do you think your estimate in (c) is too large or too small? Why?

정답·풀이 보기

(a) $h=10$ 으로 중심차분 근사를 하면 $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ 이므로 분당 화씨 2.065도이다. (b) $a=30$ 에서의 국소선형근사는 $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ 이다. (c) (b)에서 구한 선형근사를 이용하면 $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ 화씨 도이다. (d) 표에 주어진 $F(t)$ 의 값은 $t = 30$ 근처에서 증가하되 증가하는 비율이 점점 줄어드는 것으로 보이므로, $F$ 의 그래프는 $t = 30$ 근처에서 위로 볼록하다. 따라서 $L(t)$ 의 그래프( $F$ 의 $t = 30)$ 에서의 접선)는 $F$ 의 그래프보다 위쪽에 놓인다. 그러므로 (c)에서 구한 어림값은 아마도 실제보다 크게 어림한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The central difference approximation with $h=10$ gives $F'(30) \approx \frac{F(40)-F(20)}{20} = \frac{182.4-141.1}{20} = 2.065$ degrees per minute. (b) The local linearization at $a=30$ is $L(t) = F'(30)(t-30)+F(30) = L(t) \approx 2.065(t-30) + 167.6$ . (c) Using the linearization from (b), $F(33) \approx L(33) \approx 2.065(3) + 167.6 = 173.795$ degrees F. (d) Since the values of $F(t)$ given in the table appear to be increasing at a decreasing rate near $t = 30$ , it follows that the graph of $F$ is concave down near $t = 30$ . This implies that the graph of $L(t)$ (the tangent line to $F$ at $t = 30)$ lies above the graph of $F$ . Therefore, the approximation given in part (c) is probably an overestimate.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.8절 · 9번우리말 번역

직선 경로를 따라 움직이는 물체의 위치 함수 $y = s(t)$ 는 미분가능하고, $s(t)$ 는 시각 $t$ 에서 원점에 대한 물체의 위치를 나타낸다. 시각 $t = 9$ 초일 때 물체의 위치는 $s(9) = 4$ 피트(즉, 원점의 오른쪽 4피트)라고 알려져 있다. 또한 $t = 9$ 에서 물체의 순간 속도는 초당 $-1.2$ 피트이고, 같은 순간의 가속도는 초당 $0.08$ 피트씩 변하는 속도, 즉 $0.08$ 피트/초²이다.

(a) 국소선형성을 이용하여 $t = 9.34$ 에서 물체의 위치를 어림하세요. (b) 어림한 값이 실제보다 클 가능성이 높은가요, 작을 가능성이 높은가요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $t = 9$ 에서 움직이는 물체의 운동 양상을 일상 언어로 설명하세요. 물체는 원점을 향해 움직이고 있나요, 원점에서 멀어지고 있나요? 속도는 증가하고 있나요, 감소하고 있나요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $t=a$ 에서 $s$ 의 선형근사 $L$ 은 $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ 이다. 주어진 정보인 $s(9) = 4$ 와 $s'(9) = -1.2$ 를 이용하면 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사를 구할 수 있다. 따라서 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사는 $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ 이다. 선형근사의 한 가지 쓰임은, $t$ 가 $9$ 에 가까울 때 $L(t)$ 가 $s(t)$ 의 좋은 근삿값이 된다는 것이다. 그러므로 $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) $s''(4) = 0.08$ 이 양수이므로 $s$ 의 그래프는 $t=4$ 에서 아래로 볼록임을 알 수 있다. 이는 $t=4$ 에서 $s$ 의 선형근사가 $s$ 의 그래프보다 아래쪽에 놓인다는 뜻이고, 따라서 $L(9.34)$ 는 $s(9.34)$ 보다 작게 어림한 값이다. (c) $s'(4)$ 가 음수이므로 물체는 원래 위치를 향해 되돌아가고 있다. $s''(4)$ 가 양수라는 것은 $t=4$ 에서 물체의 속도가 증가하고 있다는 뜻이다. 이는 물체가 $t=4$ 에서 출발 위치를 향해 움직이면서 실제로는 느려지고 있음을 뜻한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소그래프·표 해석자동 분류