선형근사와 미분소 연습문제 — Active Calculus · 1.8절 · 9번

Active Calculus · 1.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

직선 경로를 따라 움직이는 물체의 위치 함수 $y = s(t)$ 는 미분가능하고, $s(t)$ 는 시각 $t$ 에서 원점에 대한 물체의 위치를 나타낸다. 시각 $t = 9$ 초일 때 물체의 위치는 $s(9) = 4$ 피트(즉, 원점의 오른쪽 4피트)라고 알려져 있다. 또한 $t = 9$ 에서 물체의 순간 속도는 초당 $-1.2$ 피트이고, 같은 순간의 가속도는 초당 $0.08$ 피트씩 변하는 속도, 즉 $0.08$ 피트/초²이다.

(a) 국소선형성을 이용하여 $t = 9.34$ 에서 물체의 위치를 어림하세요. (b) 어림한 값이 실제보다 클 가능성이 높은가요, 작을 가능성이 높은가요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $t = 9$ 에서 움직이는 물체의 운동 양상을 일상 언어로 설명하세요. 물체는 원점을 향해 움직이고 있나요, 원점에서 멀어지고 있나요? 속도는 증가하고 있나요, 감소하고 있나요?

영어 원문 보기

An object moving along a straight line path has a differentiable position function $y = s(t)$ ; $s(t)$ measures the object's position relative to the origin at time $t$ . It is known that at time $t = 9$ seconds, the object's position is $s(9) = 4$ feet (i.e., 4 feet to the right of the origin). Furthermore, the object's instantaneous velocity at $t = 9$ is $-1.2$ feet per second, and its acceleration at the same instant is $0.08$ feet per second per second.

(a) Use local linearity to estimate the position of the object at $t = 9.34$ . (b) Is your estimate likely too large or too small? Why? (c) In everyday language, describe the behavior of the moving object at $t = 9$ . Is it moving toward the origin or away from it? Is its velocity increasing or decreasing?

정답·풀이 보기

(a) $t=a$ 에서 $s$ 의 선형근사 $L$ 은 $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ 이다. 주어진 정보인 $s(9) = 4$ 와 $s'(9) = -1.2$ 를 이용하면 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사를 구할 수 있다. 따라서 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사는 $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ 이다. 선형근사의 한 가지 쓰임은, $t$ 가 $9$ 에 가까울 때 $L(t)$ 가 $s(t)$ 의 좋은 근삿값이 된다는 것이다. 그러므로 $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) $s''(4) = 0.08$ 이 양수이므로 $s$ 의 그래프는 $t=4$ 에서 아래로 볼록임을 알 수 있다. 이는 $t=4$ 에서 $s$ 의 선형근사가 $s$ 의 그래프보다 아래쪽에 놓인다는 뜻이고, 따라서 $L(9.34)$ 는 $s(9.34)$ 보다 작게 어림한 값이다. (c) $s'(4)$ 가 음수이므로 물체는 원래 위치를 향해 되돌아가고 있다. $s''(4)$ 가 양수라는 것은 $t=4$ 에서 물체의 속도가 증가하고 있다는 뜻이다. 이는 물체가 $t=4$ 에서 출발 위치를 향해 움직이면서 실제로는 느려지고 있음을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linearization $L$ of $s$ at $t=a$ is $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ . With the information we have we can find the linearization of $s$ at $t=9$ , using the facts that $s(9) = 4$ and $s'(9) = -1.2$ . Thus, the linearization of $s$ at $t=9$ is $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ . One use of the linearization is that for $t$ close to $9$ , $L(t)$ can provide a good approximation to $s(t)$ . So $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) Since $s''(4) = 0.08$ is positive, we know that the graph of $s$ is concave up at $t=4$ . This means that the linearization of $s$ at $t=4$ lies below the graph of $s$ and so $L(9.34)$ is an underestimate to $s(9.34)$ . (c) Given that $s'(4)$ is negative, the object is moving back toward its original position. The fact that $s''(4)$ is positive means that the velocity of the object is increasing at $t=4$ . This means that the object is actually slowing down as it moves toward toward its starting position at $t=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 1.8절 · 7번우리말 번역

어떤 함수 $y=p(x)$ 의 $a = 3$ 에서의 국소 선형화가 $L(x) = -2x + 5$ 로 주어져 있다.

(a) $p(3)$ 과 $p'(3)$ 의 값은 각각 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까? (b) $p(2.79)$ 의 값을 어림하세요. (c) $p''(3) = 0$ 이고 $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이라고 가정합니다. (b)에서 구한 어림값은 너무 큽니까, 너무 작습니까? (d) $x > 3$ 에서 $p''(x) > 0$ 이라고 가정합니다. 이 사실과 위의 추가 정보를 이용하여 $x = 3$ 근처에서 $y = p(x)$ 의 정확한 그래프를 그리세요. 그래프에 $y = L(x)$ 의 그래프도 함께 그리세요.

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(a) 접점에서 접선의 값과 기울기는 함수의 값과 기울기와 같으므로 $p(3) = L(3) = -1$ 이고 $p'(3) = L'(3) = -2$ 이다. (b) 국소 선형화를 이용하면 $p(2.79) \approx L(2.79) = -2(2.79) + 5 = -0.58$ 이다. (c) $x < 3$ 에서 $p''(x) < 0$ 이므로 $x < 3$ 에서 $p$ 는 위로 볼록이다. 따라서 접점 $x = 3$ 의 왼쪽에서는 접선이 곡선보다 위에 놓이므로 (b)의 어림값은 너무 크다. (d) 다음 그림은 점 $(3,-1)$ 에서 접선의 값과 기울기가 일치하고, $x=3$ 의 왼쪽에서는 위로 볼록, 오른쪽에서는 아래로 볼록인 함수 $p$ 의 한 가지 예이다. 이 함수는 x 가 3보다 작을 때 위로 볼록이고 x 가 3보다 클 때 아래로 볼록인 삼차 다항식처럼 보인다. 그래프는 점 (3,-1)을 지나고, 대응하는 접선도 그 점을 지나며, 함께…

이 문제로 이어서 풀기

# 선형근사와 미분소활용자동 분류