다항함수의 미분법 연습문제 — Active Calculus · 2.1절 · 8번

Active Calculus · 2.1절 · 8번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수이고 다음 정보가 알려져 있다고 하자: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) 새로운 함수 $h$ 를 $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ 로 정의하자. $h(2)$ 와 $h'(2)$ 를 구하세요. (b) 점 $(2,h(2))$ 에서 $y = h(x)$ 에 접하는 접선의 방정식을 구하세요. (c) 함수 $p$ 를 $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ 로 정의하자. $a = 2$ 에서 $p$ 는 증가하는지, 감소하는지, 둘 다 아닌지 판단하세요. 그 이유는 무엇인지 설명하세요. (d) 점 $(2,p(2))$ 에서 $p$ 의 국소선형근사를 이용하여 $p(2.03)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be differentiable functions for which the following information is known: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) Let $h$ be the new function defined by the rule $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ . Determine $h(2)$ and $h'(2)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $y = h(x)$ at the point $(2,h(2))$ . (c) Let $p$ be the function defined by the rule $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ . Is $p$ increasing, decreasing, or neither at $a = 2$ ? Why? (d) Estimate the value of $p(2.03)$ by using the local linearization of $p$ at the point $(2,p(2))$ .

정답·풀이 보기

(a) 먼저 $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ 이므로 $h(2) = 3f(2) - 4g(2) = 3(5) - 4(-3) = 27$ 이다. 다음으로 합의 법칙과 상수배의 법칙에 의해 $h'(x) = 3f'(x) - 4g'(x)$ 이다. 따라서 주어진 미분계수 값을 이용하면 $h'(2) = 3f'(2) - 4g'(2) = 3(-1/2) - 4(2) = -19/2$ 이다. (b) 점 $(2,h(2))$ 에서의 접선의 방정식은 $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ 이다. (a)에서 구한 값을 이용하면 $L(x) = 27 - \frac{19}{2}(x-2)$ 이다. (c) $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ 이므로 합의 법칙과 상수배의 법칙에 의해 $p'(x) = -2f'(x) + \frac{1}{2}g'(x)$ 이다. $x=2$ 에서 $f$ 와 $g$ 의 주어진 함숫값과 미분계수 값을 이용하면 $p(2) = -2f(2) + \frac{1}{2}g(2) = -2(5) + \frac{1}{2}(-3) = -\frac{23}{2}$ 이고 $p'(2) = -2(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(2)) = 2$ 이다. $p'(2) = 2 > 0$ 이므로 $p$ 는 $x=2$ 에서 증가한다고 결론짓는다. (d) 먼저 $a = 2$ 에서 $p$ 의 선형근사는 $L(x) = p(2) + p'(2)(x-2) = -\frac{23}{2} + 2(x-2)$ 이다. 이 선형근사를 이용하여 $p(2.03)$ 을 어림하면 $p(2.03) \approx L(2.03) = -\frac{23}{2} + 2(2.03-2) = -11.5 + 2(0.03) = -11.44\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) First, since $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ , we know $h(2) = 3f(2) - 4g(2) = 3(5) - 4(-3) = 27$ . Next, by the sum and constant multiple rules, $h'(x) = 3f'(x) - 4g'(x)$ . Hence, using the given derivative values, $h'(2) = 3f'(2) - 4g'(2) = 3(-1/2) - 4(2) = -19/2$ . (b) The tangent line at the point $(2,h(2))$ has equation $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ . Using the information determined in (a), we see $L(x) = 27 - \frac{19}{2}(x-2)$ . (c) Since $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ , it follows that $p'(x) = -2f'(x) + \frac{1}{2}g'(x)$ by the sum and constant multiple rules. Using the given function and derivative values for $f$ and $g$ at $x=2$ , we see that $p(2) = -2f(2) + \frac{1}{2}g(2) = -2(5) + \frac{1}{2}(-3) = -\frac{23}{2}$ and $p'(2) = -2(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(2)) = 2$ . Since $p'(2) = 2 > 0$ , we conclude that $p$ is increasing at $x=2$ . (d) First, the linearization of $p$ at $a = 2$ is $L(x) = p(2) + p'(2)(x-2) = -\frac{23}{2} + 2(x-2)$ . Using the linearization to estimate $p(2.03)$ , we find that $p(2.03) \approx L(2.03) = -\frac{23}{2} + 2(2.03-2) = -11.5 + 2(0.03) = -11.44\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.6절 · 8번우리말 번역

$f(x)=(3x^3+4x^2+x+1)(2x+5)$ 일 때, $f'(0)$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

이 다항식을 곱하여 보통의 꼴로 나타내는 대신, 곱의 미분법을 사용할 수 있다. $f_1(x)=3x^3+4x^2+x+1$ 이고 $f_2(x)=2x+5$ 이면 $f_1'(x)=9x^2+8x+1$ 이고 $f_2'(x)=2$ 이다. 그러면

$\begin{aligned} f'(0)&=f_1'(0)f_2(0)+f_1(0)f_2'(0)\\ &=(1)(5)+(1)(2)=7\end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 다항함수의 미분법계산자동 분류