로피탈 정리 연습문제 — Active Calculus · 3.2절 · 11번

Active Calculus · 3.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

$f$ 와 $g$ 를 미분가능한 함수라 하고, 다음 정보가 알려져 있다고 하자: $f(3) = g(3) = 0$ , $f'(3) = g'(3) = 0$ , $f''(3) = -2$ , $g''(3) = 1$ . 새로운 함수 $h$ 를 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ 로 정의하자. 같은 좌표축 위에 $x = 3$ 근처에서 $f$ 와 $g$ 의 가능한 그래프를 그리고, 주어진 정보를 이용하여 다음 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x \to 3} h(x)\,.$

결론을 뒷받침하는 설명을 쓰세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be differentiable functions about which the following information is known: $f(3) = g(3) = 0$ , $f'(3) = g'(3) = 0$ , $f''(3) = -2$ , and $g''(3) = 1$ . Let a new function $h$ be given by the rule $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ . On the same set of axes, sketch possible graphs of $f$ and $g$ near $x = 3$ , and use the provided information to determine the value of

$\lim_{x \to 3} h(x)\,.$

Provide explanation to support your conclusion.

정답·풀이 보기

$f$ 와 $g$ 의 가능한 그래프는 아래 그림과 같다. 극한을 구하기 위해 로피탈의 정리를 두 번 적용할 수 있다. $f(3) = g(3) = 0$ 이므로 로피탈의 정리에 의해

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,.$ 이다. $f'(3) = g'(3) = 0$ 이므로 이 극한도 여전히 부정형이고, 정리를 다시 적용하면

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{f''(3)}{g''(3)} = \frac{-2}{1}\,.$ 이다. 따라서 $\lim_{x \to 3} h(x) = -2$ 이다.

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원본 교재 풀이(영어)

See the figure below for possible graphs of $f$ and $g$ . To evaluate the limit, we can apply L'Hôpital's Rule twice. Since $f(3) = g(3) = 0$ , we know by the rule that

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f'(x)}{g'(x)}\,.$ Since $f'(3) = g'(3) = 0$ , the limit is still indeterminate, and we can apply the rule again to get

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 3} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \frac{f''(3)}{g''(3)} = \frac{-2}{1}\,.$ Hence, $\lim_{x \to 3} h(x) = -2$ .

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한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.8절 · 50번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여 함수의 그래프를 그리고 극한의 값을 어림한 다음, 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 직접 구하세요.

[계산기 사용] $\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{x}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$2$

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