최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — Active Calculus · 3.5절 · 7번

Active Calculus · 3.5절 · 7번우리말 번역

각 함수에 대해 주어진 정보를 바탕으로, 그 함수가 최댓값만 갖는지, 최솟값만 갖는지, 둘 다 갖지 않는지, 둘 다 갖는지, 아니면 정보가 더 없으면 알 수 없는지 판단하세요. 따로 언급이 없으면 각 함수는 두 번 미분가능하고 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정합니다. 각 경우에 결론을 설명하는 문장을 한 문장씩 쓰세요.

(a) $f$ 는 모든 $x$ 에 대해 $f''(x) < 0$ 인 함수이다. (b) $g$ 는 임계수가 두 개( $a$ 와 $b$ , 단 $a < b$ )인 함수이고, $x < a$ 일 때 $g'(x) < 0$ , $a < x < b$ 일 때 $g'(x) < 0$ , $x > b$ 일 때 $g'(x) > 0$ 이다. (c) $h$ 는 임계수가 두 개( $a$ 와 $b$ , 단 $a < b$ )인 함수이고, $x < a$ 일 때 $h'(x) < 0$ , $a < x < b$ 일 때 $h'(x) > 0$ , $x > b$ 일 때 $h'(x) < 0$ 이다. 또한 $\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$ 이고 $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$ 이다. (d) $p$ 는 $x = a$ 를 제외한 모든 곳에서 미분가능한 함수이고, $x < a$ 일 때 $p''(x) > 0$ , $x > a$ 일 때 $p''(x) < 0$ 이다.

영어 원문 보기

Based on the given information about each function, decide whether the function has global maximum, a global minimum, neither, both, or that it is not possible to say without more information. Assume that each function is twice differentiable and defined for all real numbers, unless noted otherwise. In each case, write one sentence to explain your conclusion.

(a) $f$ is a function such that $f''(x) < 0$ for every $x$ . (b) $g$ is a function with two critical numbers $a$ and $b$ (where $a < b$ ), and $g'(x) < 0$ for $x < a$ , $g'(x) < 0$ for $a < x < b$ , and $g'(x) > 0$ for $x > b$ . (c) $h$ is a function with two critical numbers $a$ and $b$ (where $a < b$ ), and $h'(x) < 0$ for $x < a$ , $h'(x) > 0$ for $a < x < b$ , and $h'(x) < 0$ for $x > b$ . In addition, $\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$ and $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$ . (d) $p$ is a function differentiable everywhere except at $x = a$ and $p''(x) > 0$ for $x < a$ and $p''(x) < 0$ for $x > a$ .

정답·풀이 보기

(a) 정보가 더 없으면 알 수 없다. 예를 들어 함수 $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = x^2$ 은 각각 항상 아래로 볼록하지만, 이 중 최솟값을 갖는 것은 하나뿐이다. 항상 아래로 볼록하므로 $f$ 가 최댓값을 가질 수 없고, 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수도 없음은 확실히 말할 수 있다. 최솟값을 가질 수도 있고, 둘 다 갖지 않을 수도 있다. (b) 두 번 미분가능하므로 $x$ 가 $g$ 의 임계수일 때마다 $g'(x) = 0$ 임을 안다. 따라서 주어진 구간에서 $g'(x)$ 의 부호로부터, $g$ 는 $x = a$ 이전에 감소하고 $a < x < b$ 에서도 감소하며, $x = a$ 에서 접선이 수평이다. 또한 $x > b$ 에서 $g$ 는 증가한다. 따라서 $g$ 는 $x = b$ 에서 최솟값을 가짐을 알 수 있다. (c) $h$ 는 $x < a$ 에서 항상 감소하고, $a < x < b$ 에서 항상 증가하며, $x > b$ 에서 항상 감소하므로, $h$ 는 $x = a$ 에서 극솟값을 갖고 $x = b$ 에서 극댓값을 갖는다. 게다가 $x \to \pm \infty$ 일 때 $h(x) to 0$ 이므로 이 극값들은 모두 최댓값 또는 최솟값이기도 하다. 특히 $x > b$ 에서 $h(x)$ 는 $0$ 으로 감소하고 $a < x < b$ 에서 증가하므로, $h(b)$ 는 $(a, \infty)$ 에서 $h(x)$ 의 가장 큰 값이고 $h(b) > 0$ 이다. 마찬가지로 $h(x)$ 는 $(-\infty, a)$ 에서 감소하고 $x \to -\infty$ 일 때 $0$ 에 가까워지며 $a < x < b$ 에서 증가하므로, $h(a)$ 는 $(-\infty, b)$ 에서 $h(x)$ 의 가장 작은 값이고 $h(b) < 0$ 이어야 한다. 따라서 $x < a$ 에서 $h(x)$ 는 항상 음수이고 $x > b$ 에서 $h(x)$ 는 항상 양수이다. 이 모든 관찰로부터 $h$ 는 $x = a$ 에서 최솟값을 갖고 $x = b$ 에서 최댓값을 갖는다. (d) 먼저 가정에 의해 $p$ 는 모든 실수에서 정의되므로 $p(a)$ 는 어떤 유한한 값을 가짐에 주목한다. 그러나 $p$ 는 $x = a$ 에서 미분가능하지 않고, $p$ 는 $x = a$ 의 왼쪽에서 아래로 볼록하며 $x = a$ 의 오른쪽에서 위로 볼록하다. 이는 $p$ 가 $x = a$ 에서 극댓값을 가짐을 나타낸다. 그러나 이 극댓값이 최댓값인지, 또는 $p$ 가 다른 어떤 점에서 최솟값을 갖는지는 판단하기에 주어진 정보가 충분하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) It's not possible to say without more information: for instance, the functions $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = e^{-x}$ , and $f(x) = x^2$ are each always concave up, but only one of them has a global minimum. We can say for sure that by being always concave up, $f$ cannot have a global maximum, and it also cannot have both a global maximum and a global minimum. It might have a global minimum, or it might have neither. (b) By being twice differentiable, we know that $g'(x) = 0$ any time $x$ is a critical number of $g$ . Thus, given the signs of $g'(x)$ on the stated intervals, $g$ is decreasing before $x = a$ and decreasing on $a < x < b$ , with a horizontal tangent line at $x = a$ . In addition, $g$ is increasing for $x > b$ . Thus, we know that $g$ has a global minimum at $x = b$ . (c) Since $h$ is always decreasing for $x < a$ , always increasing for $a < x < b$ , and always decreasing for $x > b$ , we know that $h$ has a local minimum at $x = a$ and a local maximum at $x = b$ . Moreover, these local extremes are both global extremes since $h(x) to 0$ as $x \to \pm \infty$ . In particular, since $h(x)$ decreases to $0$ for $x > b$ and increases on $a < x < b$ , it follows that $h(b)$ is the largest value of $h(x)$ on $(a, \infty)$ , and that $h(b) > 0$ . Similarly, since $h(x)$ decreases on $(-\infty, a)$ and approaches $0$ as $x \to -\infty$ , and $h(x)$ increases on $a < x < b$ , it must be the case that $h(a)$ is the least value of $h(x)$ on $(-\infty, b)$ and that $h(b) < 0$ . Hence, $h(x)$ is always negative on $x < a$ and $h(x)$ is always positive on $x > b$ . From all of these observations, it follows that $h$ has a global minimum at $x = a$ and a global maximum at $x = b$ . (d) First, observe that $p$ is defined for all real numbers by assumption, so $p(a)$ has some finite value. However, $p$ is not differentiable at $x = a$ and $p$ is concave up to the left of $x = a$ and concave down to the right of $x = a$ . This indicates that $p$ has a relative maximum at $x = a$ . Not enough information is provided, however, to determine if this relative maximum is a global maximum, nor if $p$ happens to have a global minimum at some other point.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번우리말 번역

각의 최대화에 관한 유명한 레기오몬타누스의 문제는 15세기에 제기되었습니다. 어떤 그림이 벽에 걸려 있는데, 그림의 아랫부분은 눈높이보다 $a$ 피트 위에 있고, 윗부분은 눈높이보다 $b$ 피트 위에 있습니다. 그림이 이루는 각 $\theta$ 가 최대가 되려면, 보는 사람은 벽에서 몇 피트( $x$ ) 떨어진 곳에 서야 하는지 구하세요.

눈높이를 나타내는 점이 하나 표시되어 있고, 이 점에서 직각삼각형이 하나 만들어진다. 이 직각삼각형에서 이웃한 변의 길이는 x이고, 마주 보는 변의 길이는 a이며, a는 그림의 아랫부분에서 눈높이까지의 길이이다. 눈높이를 나타내는 같은 점에서 두 번째 직각삼각형이 만들어지는데, 이 삼각형에서 이웃한 변은 x이고 다른 변의 길이는 b이며, b는 그림의 높이이다. 두 빗변 사이의 각이 θ로 표시되어 있다.

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피트

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$x=\sqrt{ab}$ 피트

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