최댓값·최솟값과 최적화 연습문제 — Active Calculus · 3.5절 · 10번

Active Calculus · 3.5절 · 10번우리말 번역

$s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ 라 하자. 양 끝점의 함숫값을 확인하고 $s$ 의 관련된 모든 임계수를 찾아 그 값을 계산하여, 주어진 구간에서 $s$ 의 최댓값과 최솟값을 정확하게 구하세요.

(a) $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ (b) $[0, \frac{\pi}{2}]$ (c) $[0, 2\pi]$ (d) $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$

영어 원문 보기

Let $s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ . Find the exact absolute maximum and minimum of $s$ on the provided intervals by testing the endpoints and finding and evaluating all relevant critical numbers of $s$ .

(a) $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ (b) $[0, \frac{\pi}{2}]$ (c) $[0, 2\pi]$ (d) $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$

정답·풀이 보기

(a) $s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ 에서 $s'(t) = 3\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) \cdot 2 = 6\cos(2(t-\frac{\pi}{6}))$ 이다. 따라서 $s'(t) = 0$ 일 필요충분조건은 $\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) = 0$ 이고, 그러므로 어떤 정수 $k$ 에 대해 $2(t-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$ 이다. 이 방정식을 $t$ 에 대해 풀면 $t-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2}$ 이므로 $t = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}\,.$ 이제 주어진 구간 $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ 을 생각하자. 이 구간은 $[\frac{2\pi}{12}, \frac{14\pi}{12}]$ 로 볼 수 있다. $t = \frac{5\pi}{12}$ 는 이 구간에 속하고, $t = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{12}$ 도 속한다. 따라서 구간 안에 $s$ 의 값을 계산해야 할 임계수가 두 개 있고, 양 끝점에서도 값을 계산한다. 계산하면 다음과 같다.

$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ ;
$s(\frac{\pi}{6}) = 5$ ; 그리고
$s(\frac{7\pi}{6}) = 5$ . 따라서 $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ 이다. (b) (a)의 풀이에서 $s$ 의 임계수는 $t = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}$ 임을 알 수 있다. 구간 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 에서는 $t = \frac{5\pi}{12}$ 만 구간에 속한다. 따라서 $s$ 의 값을 계산할 점은 세 개이다. 계산하면:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(0) = 3\sin(2(0-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(-\frac{\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ ; 그리고
$s(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{2\pi}{3}) + 5 = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 7.598$ . 따라서 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(0) = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ 이다. (c) $t = 0$ 부터 $t = 2\pi$ 까지의 구간에서 $s$ 는 거의 두 주기를 완전히 지나므로 최댓값과 최솟값을 모두 갖는다. 최댓값은 (a)에서 구한 대로 $8$ 이고, 최솟값은 $2$ 이다. 예를 들어 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ 이다. 주어진 구간에서 함수가 이 값들을 갖는 다른 점들도 있다. (d) 구간 $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] = [\frac{4\pi}{12}, \frac{10\pi}{12}]$ 에서는 임계수 $t = \frac{5\pi}{12}$ 만 구간에 속한다. 따라서 $s$ 의 값을 계산할 점은 세 개이다. 계산하면:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{\pi}{3}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{\pi}{3}) + 5 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 5 \approx 7.598$ ; 그리고
$s(\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(2(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{4\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ . 따라서 $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(\frac{5\pi}{6}) \approx 2.402$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For $s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ , $s'(t) = 3\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) \cdot 2 = 6\cos(2(t-\frac{\pi}{6}))$ . It follows that $s'(t) = 0$ if and only if $\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) = 0$ , and thus $2(t-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$ for some integer value of $k$ . Solving this most recent equation for $t$ , we have $t-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2}$ , so $t = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}\,.$ Now we consider the given interval $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ , which we can think of as $[\frac{2\pi}{12}, \frac{14\pi}{12}]$ . The value $t = \frac{5\pi}{12}$ lies in this interval, as does $t = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{12}$ . Thus, we have two critical numbers in the interval at which to evaluate $s$ , as well as at the endpoints. Doing so, we find:

$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ ;
$s(\frac{\pi}{6}) = 5$ ; and
$s(\frac{7\pi}{6}) = 5$ . The absolute max of $s$ on $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ is thus $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ . (b) From our work in (a), we know that $s$ has critical numbers at $t = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}$ . On the interval $[0, \frac{\pi}{2}]$ , only $t = \frac{5\pi}{12}$ lies in the interval. Thus we have three values at which to evaluate $s$ . Doing so:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(0) = 3\sin(2(0-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(-\frac{\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ ; and
$s(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{2\pi}{3}) + 5 = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 7.598$ . The absolute max of $s$ on $[0, \frac{\pi}{2}]$ is thus $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(0) = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ . (c) On the interval from $t = 0$ to $t = 2\pi$ , $s$ completes nearly two full periods, and thus achieves each of its maximum and minimum values. The absolute maximum is $8$ as determined in (a), and the absolute minimum is $2$ . These occur, for example, at $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ . There are other points at which the function achieves these values on the given interval. (d) On the interval $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] = [\frac{4\pi}{12}, \frac{10\pi}{12}]$ , only the critical number $t = \frac{5\pi}{12}$ lies in the interval. Thus we have three values at which to evaluate $s$ . Doing so:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{\pi}{3}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{\pi}{3}) + 5 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 5 \approx 7.598$ ; and
$s(\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(2(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{4\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ . The absolute max of $s$ on $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$ is thus $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(\frac{5\pi}{6}) \approx 2.402$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 3.5절 · 7번우리말 번역

각 함수에 대해 주어진 정보를 바탕으로, 그 함수가 최댓값만 갖는지, 최솟값만 갖는지, 둘 다 갖지 않는지, 둘 다 갖는지, 아니면 정보가 더 없으면 알 수 없는지 판단하세요. 따로 언급이 없으면 각 함수는 두 번 미분가능하고 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정합니다. 각 경우에 결론을 설명하는 문장을 한 문장씩 쓰세요.

(a) $f$ 는 모든 $x$ 에 대해 $f''(x) < 0$ 인 함수이다. (b) $g$ 는 임계수가 두 개( $a$ 와 $b$ , 단 $a < b$ )인 함수이고, $x < a$ 일 때 $g'(x) < 0$ , $a < x < b$ 일 때 $g'(x) < 0$ , $x > b$ 일 때 $g'(x) > 0$ 이다. (c) $h$ 는 임계수가 두 개( $a$ 와 $b$ , 단 $a < b$ )인 함수이고, $x < a$ 일 때 $h'(x) < 0$ , $a < x < b$ 일 때 $h'(x) > 0$ , $x > b$ 일 때 $h'(x) < 0$ 이다. 또한 $\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$ 이고 $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$ 이다. (d) $p$ 는 $x = a$ 를 제외한 모든 곳에서 미분가능한 함수이고, $x < a$ 일 때 $p''(x) > 0$ , $x > a$ 일 때 $p''(x) < 0$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 정보가 더 없으면 알 수 없다. 예를 들어 함수 $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = x^2$ 은 각각 항상 아래로 볼록하지만, 이 중 최솟값을 갖는 것은 하나뿐이다. 항상 아래로 볼록하므로 $f$ 가 최댓값을 가질 수 없고, 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수도 없음은 확실히 말할 수 있다. 최솟값을 가질 수도 있고, 둘 다 갖지 않을 수도 있다. (b) 두 번 미분가능하므로 $x$ 가 $g$ 의 임계수일 때마다 $g'(x) = 0$ 임을 안다. 따라서 주어진 구간에서 $g'(x)$ 의 부호로부터, $g$ 는 $x = a$ 이전에 감소하고 $a < x < b$ 에서도 감소하며, $x = a$ 에서 접선이 수평이다. 또한 $x > b$ 에서 $g$ 는 증가한다. 따라서 $g$ 는 $x = b$ 에서 최솟값을 가짐을 알 수 있다. (c) $h$ 는 $x < a$ 에서 항상 감소하고, $a < x < b$ 에서 항상 증가하며, $x > b$ 에서 항상 감소하므로, $h$ 는 $x = a$ 에서 극솟값을 갖고 $x = b$ 에서 극댓값을 갖는다. 게다가 $x \to \pm \infty$ 일 때 $h(x) to 0$ 이므로 이 극값들은 모두 최댓값 또는 최솟값이기도 하다. 특히 $x > b$ 에서 $h(x)$ 는 $0$ 으로 감소하고 $a < x < b$ 에서 증가하므로, $h(b)$ 는 $(a, \infty)$ 에서 $h(x)$ 의 가장 큰 값이고 $h(b) > 0$ 이다. 마찬가지로 $h(x)$ 는 $(-\infty, a)$ 에서 감소하고 $x \to -\infty$ 일 때 $0$ 에 가까워지며 $a < x < b$ 에서 증가하므로, $h(a)$ 는 $(-\infty, b)$ 에서 $h(x)$ 의 가장 작은 값이고 $h(b) < 0$ 이어야 한다. 따라서 $x < a$ 에서 $h(x)$ 는 항상 음수이고 $x > b$ 에서 $h(x)$ 는 항상 양수이다. 이 모든 관찰로부터 $h$ 는 $x = a$ 에서 최솟값을 갖고 $x = b$ 에서 최댓값을 갖는다. (d) 먼저 가정에 의해 $p$ 는 모든 실수에서 정의되므로 $p(a)$ 는 어떤 유한한 값을 가짐에 주목한다. 그러나 $p$ 는 $x = a$ 에서 미분가능하지 않고, $p$ 는 $x = a$ 의 왼쪽에서 아래로 볼록하며 $x = a$ 의 오른쪽에서 위로 볼록하다. 이는 $p$ 가 $x = a$ 에서 극댓값을 가짐을 나타낸다. 그러나 이 극댓값이 최댓값인지, 또는 $p$ 가 다른 어떤 점에서 최솟값을 갖는지는 판단하기에 주어진 정보가 충분하지 않다.

이 문제로 이어서 풀기

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류