음함수의 미분법

• 먼저 $y=0$ 인 $x$ 좌표를 구한다.

$$\begin{aligned} x^2e^0+4x\cos(0) &= 5 \\ x^2 +4x - 5 &=0\\ (x+5)(x-1)&=0 \end{aligned}$$

따라서 $x=1,-5$ 이다.

• 이제 음함수 미분을 이용하여 $y'$ 을 $x,y$ 로 나타내면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} x^2e^y+4x\cos(y) &= 5 & \text{양변을 미분} \\ x^2 \cdot e^y \cdot y' + 2x e^y + 4x(-\sin(y)) \cdot y' + 4\cos(y) &= 0 \end{aligned}$$

• 이제 $y=0$ 을 대입하면

$$\begin{aligned} x^2 \cdot e^0 \cdot y' + 2x e^0 + 4x(-\sin(0)) \cdot y' + 4\cos(0) &= 0 \\ x^2y' + 2x + 4 &=0 \\ y' &= - \frac{4+2x}{x^2}. \end{aligned}$$

• 따라서 $(x,y)=(1,0)$ 에서 $y' = -6$ 이고,
• $(x,y)=(-5,0)$ 에서 $y' = \frac{6}{25}$ 이다.